报告 - 北京大学力学与工程科学系.ppt

相似矩阵 * 矩阵的特征值与特征向量 求取 * 性质: 1)属于相异特征值的特征向量线性无关. * 线性变换的特征值与特征向量 求取: * Hamilton-Caylay 定理 设A 为V 上线性变换, 在某组基下的矩阵为A, f(?) = |?E ?A| 是特征多项式, 则 f(A)= 0, f(A ) = 0 * 相似对角化 ?A有n 个线性无关的特征向量; ?A的所有特征值的代数重数等于几何重数. ?A有n 个相异特征值; 相似对角化计算 * * 2. 不变子空间 线性变换的值域与核 * 不变子空间 1)V与{0}是A不变的; 5)A 不变子空间的交与和仍是A不变的. * 不变子空间与线性变换的矩阵的化简 * 将这些基并在一起构成V的基, 且A在该基下的矩阵具有分快对角形式, * * 若当(Jordan)标准形 1)称如下分快对角阵 * 3)对C上线性空间V上的线性变换A, 必存在V中一组基, 使得A在该组基下的矩阵是若当矩阵,若不计若当快的排列顺序,则若当矩阵是由 A 唯一确定的. * §9. 最小多项式简介 结论 1) 矩阵A的最小多项式是唯一的; 2) 最小多项式整除任何以 A 为根的多项式, 从而整除 A 的特征多项式; 3) 相似矩阵有相同的最小多项式; * * * Hamilton-Caylay 定理 证明 设A 为V 上线性变换, 在某组基下的矩阵为A, f(?) = |?E ?A| 是特征多项式, 则 f(A)= 0, f(A) = 0 * 第八次课作业 325页: 22, 23 * 北京大学工学院 北京大学工学院 * 高等代数第七章回顾 1. 线性变换 定义 设V为 P上的线性空间, 称A : V ?V为线性变换, 系指 A(k? +l?) = kA? + lA?, ? k, l ?P, ??, ? ?V 运算 1) 加法: (A +B )(?) = A? + B? ; 2) 数乘: (kA )(?) = kA(?) ; 3) 乘法: AB (?)=A(B(?)) ; * * V上线性变换的全体, 对于所定义的加法与数乘构成P上的线性空间. 多项式 设f(x)?P[x], A为V上线性变换, 则f(A )为线性变换的多项式. 若p(x),q(x)?P[x], 则 1)h(x) = p(x)+q(x),? h(A) = p(A ) + q(A) 2)h(x) = p(x)q(x),? h(A) = p(A)q(A) = q(A)p(A) 线性变换的矩阵 唯一确定了线性变换. * * * 北京大学工学院 北京大学工学院