第2章 2.1 随机变量.ppt

§2.1 随机变量 概率论研究的内容：从数量化的角度来研究随机现象的统计规律性。 如何从数量化角度特别是利用微积分来进行研究，从第1章大家无从知晓； 为此，在接下来的两章，我们将学习两个重要的概念及其性质：随机变量及随机变量的分布； 有了这些概念及性质作为桥梁，我们才能把所学微积分等知识应用到概率统计问题的研究中来。 第2章 随机变量及其分布 本章主要内容 §2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量 §2.3 连续型随机变量 §2.4 随机变量函数的分布 §2.1 随机变量 本节主要内容 2.1.1 随机变量的概念 2.1.2 随机变量的分布函数 §2.1 随机变量 2.1.1 随机变量概念 研究随机现象需从随机试验开始，为了从数量化角度来研究随机现象的规律，首先我们需要把随机试验的所有结果，即样本空间中的样本点数量化。 但在实际问题中，样本空间中的样本点可能是数，也可能非数。 如果样本空间中的样本点非数，则需数量化。 把样本空间中的样本点数量化，也就是建立样本空间与实数空间或实数空间某一部分的对应（或函数）关系，其结果即是随机变量。 §2.1 随机变量 2.1.1 随机变量概念 比如：检查产品合格与否：合格、不合格； 如果用0表示不合格、1表示合格，这样就把样本点数量化了， 也就建立了一个样本空间?={合格,不合格}={?1，?2}与实数空间中的一部分{0,1}的函数关系： X是一个随试验的结果?变化而变化的变量，X=X(?)可以看作是定义在样本空间?上的实值单值函数。 §2.1 随机变量 2.1.1 随机变量概念 【例2.1】有朋自远方来，他可能乘船，乘火车，或者乘飞机，记?1=“乘船”，?2=“乘火车”，?3=“乘飞机”，这就是以? = {?1，?2，?3}为样本空间的随机试验. 现考虑该客人的旅费，假定乘船、火车与飞机的单价分别为100，200，300元，则所需旅费就是如下实值函数 数量化的结果X=X(?)，也可以看作是定义在样本空间?上的实值单值函数. §2.1 随机变量 2.1.1 随机变量概念 实例1：设盒中有5个球 (2白3黑), 从中任抽3个,设X为抽到的白球数，则? = {?}（样本点非数）， 记变量X=X(?)=抽得的白球数（数量化方法）， Ｘ＝X(?) 的所有可能取值为:0，1，2. 实例2：设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为止，设X表示所需射击的次数，则 Ｘ＝X(?) 的所有可能取值为:1，2，3，... 样本点?本身就是数，数量化方法是令X为?这个数本身。 §2.1 随机变量 2.1.1 随机变量概念 实例3：某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的,设X表示此人需要等待的时间，则 Ｘ＝X(?)的所有可 能取值为:[0,5] 不同实例2的是，本题数 量化的结果为一个区间。 §2.1 随机变量 2.1.1 随机变量概念 实例1：Ｘ＝X(?) 的所有可能取值为:0，1，2； 实例2：Ｘ＝X(?) 的所有可能取值为:1，2，3，...； 实例3：Ｘ＝X(?)的所有可能取值为:[0,5]。 上述五个实例，把样本点数量化的结果实际上得到了一个随试验的结果变化而变化的变量，也即构建了一个以样本点为自变量实数为因变量的单值函数（定义在样本空间上的实值单值函数）。 函数的对应关系：一对一，多对一。 §2.1 随机变量 2.1.1 随机变量概念 【定义2.1】 设随机试验的样本空间为? = {?}，X=X(?)是定义在样本空间?上的实值单值函数，称X=X(?)为随机变量． §2.1 随机变量 2.1.1 随机变量概念 说明： （1）随机变量是一个实值单值函数，与之前常见的函数不同： 1.定义域为样本空间，自变量取值可能非数； 2.随机变量的取值随试验的结果而定，在试验前取值结果未知，具有随机性； 3.随机变量的取值具有一定的概率。 §2.1 随机变量 2.1.1 随机变量概念 说明： （2）有了随机变量之后，我们就可以用另外一种方式来表示随机事件和随机事件发生的概率． {收到不少于1次呼叫} { X≥1} {没有收到呼叫} {X= 0} 再如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高. 把身高看作随机变量X, 可以提出关于X的各种问题. 如 P{X1.7}=？ P{X≤1.5}=? P{1.5X1.7}=? ... §2.1