第三章： 一维定态问题 - 西北大学精品课程建设网.doc

第三章： 一维定态问题 [1]对于无限深势阱中运动的粒子（见图3-1）证明 并证明当时上述结果与经典结论一致。 [解]写出归一化波函数： （1） 先计算坐标平均值： 利用公式： （2） 得 （3） 计算均方根值用以知，可计算 利用公式 （5） （6） 在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a）范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1，几率密度。 故当时二者相一致。 # [2]试求在不对称势力阱中粒子的能级。 [解] （甲法）：根据波函数标准条件，设定各区间的波函数如下： (x0区)： （1） （0xa区）： （2） （xa区）： （3） 但 写出在连接点x=0处连续条件 （4） （5） x=a处连续条件 （6） （7） （4）（5）二式相除得 （6）（7）二式相除得 从这两式间可消去B，C，得到一个间的关系 解出，得 （8） 最后一式用E表示时，就是能量得量子化条件： （乙法）在0xa区间中波函数表示为 现在和前一法相同写出边界条件： （在x=0处） (9) (10) (在x=a处) (11) (12) （9）（10）相除得 (13) （11）（12）相除得 (14) 写出（13）（14）的反正切关系式，得到： 或 前述两法的结果形式不同，作为一种检验，可以用下述方法来统一。试将第二法所得的量子化条件，等号左右方取其正切： 左方 此结果与第一法相同。 # 　　［3］设质量为ｍ的粒子在下述势阱中运动： 　　　　 求粒子的能级。 　　（解）本题是在半区中的一维谐振子，它的薛定谔方程式 在ｘ＞０的半区内与普通谐振子的相同，在负半区中。 一般谐振子的函数ψ（x）满足薛氏方程式： （1） 作自变量变换 （） 并将波函数变换： 得u的微分方程： （2） 但 （3） 设（2）的解是级数： （4） 将（4）代入（2）知道，指标s的值是s=1或s=0。 此外又得到相同的二个未定系数之间的关系有二种： s=0时， （5） s=1时， （6） 为了使波函数ψ（x）满足标准条件，级数（4）必需中断。此外由于本题情形中应满足边界条件（波函数连续性），x=0时ψ（x）=0，即u（0）=0。因而必需取s=1，它的递推式是（6），因此如果级数（4）中断，而（4）的最高幂是n=2m，在（4）式中取s=1，，，则在（6）式中取n为最高幂时： 由（3）得 (7) 式中的m=0,1,2,3,4,…… （7）式即我们需求的粒子的能级。 本题的波函数是 但 是归一化常数，是奇