11.2.2空间向量的概念及其运算.ppt

高考总复习·数学 11.2.2 空间向量的概念及其运算 一.空间向量及其加法、数乘运算 2．共线向量 1.空间向量的定义 3．共面向量： 4．平面向量基本定理及其推论 5．两个向量的数量积 二．向量的坐标运算 空间向量的线性运算 如图所示，在平行六面体 中，P是CA1的 中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q在CA1上， 且CQ∶QA1=4∶1，设 ，用基底{a，b，c }表示以下向量： B1 C1 A B M P Q A1 D1 D C 例1图 （1） （2） （3） （4） 解：连接AC、AD1． （1） （2） （3） （4） 同一向量在不同基底下的坐标 已知向量{a，b，c }是空间的一基底，向量{ a + b，a - b，c } 是空间的另一基底，一向量p在基底{ a，b，c }下的坐标为 （1，2，3），求p在基底{ a + b，a- b，c }下的坐标。 解：设p在基底{a+b，a -b， c}下的坐标为(x， y ， z)，则 a+2b＋3c＝x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a + (x-y)b + zc 解得 ｛ x+y=1 x-y=2 z=3 ｛ x=3/2 x=-1/2 z=3 故p在基底{a+b，a -b，c }下的坐标为（ ）。 空间向量的坐标运算 已知O为原点，向量 ∥ ， 求 解:设 ∵ ∥ ∴ ， ∴ 即 解此方程组，得 ∴ (2006年湖北重点高中联合考试)已知在四面体ABCD中， G ∈平面ABC． （Ⅰ）若G为△ABC的重心，试证明 （Ⅱ）试问（1）的逆命题是否成立？并证明你的结论． A B C D G P 利用空间向量证明几何命题 思路分析:要用 表示 只需结合图形,充分利用空间 向量的加法与数乘向量的运算即可;对于其逆命题是否成立,可借 助于条件 来进行判断. 解：（Ⅰ）连AG交BC于D，则D平分BC，且G分 所成 的比为2∶1，从而 故 = 因 (a+b+c)， 故 解得q =2，p = 1，于是G为△ABC的重心． 点评与感悟:选定空间中不共面的三个向量作为基向量,并 用它们表示指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求 ,解题时应结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公 式等,就近表示所需要的量,再对照目标,将不符合目标要求的向 量作出新的调整,如此反复,直到所有的向量都符合要求为止. 已知空间中三点 ,设a= ,b= (1)若|c|=3,且c// ,求向量c; (2)求向量a与向量b的夹角的余弦值; (3)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值; (4)若 (a+b)+ ( a－b)与z轴垂直，求 的应满足的关系. 空间向量性质的应用 思路分析:本题空间向量坐标运算法则的应用， 根据a＝ ，b＝ 则 = = 等来求解该题,这是需要熟练掌握的知识点,因为这是利用向 量解决立体向量的基础. 解:(1) 所以 或 (2) 又 即向量a与向量b的夹角的余弦值为 (3)解法一 或 ,即ka+b与ka-2b互相垂直, 求实数k的值为2或 解法二:由(2)知 得 或 (4) 即当 满足关系 时, 可使 (a+b)+ ( a－b)与z轴垂直. 点评与感悟:证明两条直线垂直 ,一般是用两条直线的