11.2.4空间距离的概念及其求法.ppt

高考总复习·数学 11.2.4 空间距离的概念及其求法 一.几种距离的概念 1.点到平面的距离 2. 直线到平面的距离 3. 两平面的距离 4. 异面直线的距离 二.向量法求距离 （1）点到平面距离的向量公式 d= （2）线面、面面距离的向量公式 d= 或 d= （3）异面直线的距离的向量公式 d= 求空间中点到直线的距离 正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a， E是BB1的中点，则E到AD1的距离是( ) A a B a C a D a 解析：连结D1E、AE，过E作EH⊥AD1于H， 在△AD1E中易求EH= a. D 求点到平面的距离 已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，AB=1，AA1=2， 点E为CC1中点，点F为BD1中点. （1）证明EF为BD1与CC1的 公垂线； （2）求点 D1到面BDE的距离. 思路分析：第一问即是证明两组线线垂直， 第二问可考虑等体积法。 [解答]（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM， ∵F为BD1中点， ∴FM∥D1D且FM= D1D 又EC= CC1，且EC⊥MC， ∴四边形EFMC是矩形 ∴EF⊥CC1 又CM⊥面DBD1 ∴EF⊥面DBD1 ∵BD1 面DBD1，∴EF⊥BD1 故EF为BD1与CC1的公垂线. （II）解：连结ED1，有 ，由（I） 知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d， 则S△DBC·d=S△DBD1·EF.， ∵AA1=2·AB=1. 故点D1到平面BDE的距离为 点评与感悟：等体积法是求点到平面距离的常用方法，一般 是找到一个三棱锥，利用选择不同的顶点后，三棱锥自身体积 相等的特性进行求解。使用等体积法的前提是几何体的体积一 定可以通过题设算得。 设A（2，3，1），B（4，1，2），C（6，3，７）， D（－５，－4，8），求D到平面ABC的距离. 解：设平面ABC的法向量n=（x，y，z）， ∵n· =0，n· =0， ∴ 即 令z=－2，则n=（3，2，－2）. ∴cos〈n， 〉= ∴点D到平面ABC的距离为d， d= ·|cos〈n， 〉|= = 或 点评与感悟：求点到平面的距离除了根据定义及等积变换外， 还可以借用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个 法向量n的坐标，再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量 的坐标， 那么P到平面的距离d= | 也可这样求d= ||cos〈n， 〉|. 求异面直线间的距离 如图所示，已知四边形ABCD、 EADM都是边长为a的正方形， 点P、Q分别是ED与AC的中点， 求：（1）PM与FQ所成的角； （2）P点到平面EFB的距离； （3）异面直线PM与FQ的距离 解：建立空间直角坐标系，使得D（0，0，0）、 A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、 M（0，0，a）、E（a，0，a）、F（0，a，a）， 则由中点坐标公式得 P（ ，0， ）、 Q（ ， ，0）. （1）∴ =（－a/2，0，a/2）， =（a/2，－a/2，－a）， =（－a/2）×a/2+0+a/2×（－a）=－3/4a2， 且 = a， = a. ∴cos〈 ， 〉= = =－ 故得两向量所成的角为150°. （2）设n=（x，y，z）是平面EFB的单位法向量，即|n|=1， n⊥平面EFB，∴n⊥ 高考总复习·数学