13.4最短路径问题1.ppt

思维分析 B A 1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ Ｍ Ｎ 2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？ * 我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？ 思维火花 各抒己见 1、把A平移到岸边. 2、把B平移到岸边. 3、把桥平移到和A相连. 4、把桥平移到和B相连. * 上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验. 合作与交流 1、2两种方法改变了. 怎样调整呢？ 把A或B分别向下或上平移一个桥长 那么怎样确定桥的位置呢? * 问题解决 B A A1 M N 如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短. 理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１. Ｎ１ Ｍ１ 由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１　转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１. 在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B 因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN * 问题延伸 如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直） * 思维分析 如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ． 桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长. 平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处 * 思维方法 沿垂直于第一条河岸方向平移Ａ点至Ａ１　点，沿垂直于第二条河岸方向平移Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1 分别交A、B的对岸于N、P两点，建桥MN和PQ. 最短路径AM+MN+NP+PQ+QB转化为AA1+A1B1+BB1. * （2）把A，B在直线同侧的问题转化为 在直线的两侧，化折线为直线， 将军饮马的实质： （3）可利用“两点之间线段最短” 加以解决。 （1）求最短路线问题------ 通过几何变换找对称图形。 （4）“选桥选址问题”移动桥宽后还是可利用“两点之间线段最短”加以解决。 * 反思是进步的阶梯 我的收获； 我的疑惑； 面对一个新的求线段最短问题时，我们可以通过怎样的途径去研究它？ * 13.4 课题学习 最短路径问题 * 如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？ 两点之间,线段最短 ① ② ③ * 将军饮马问题： 两点之间线段最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题： 将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中 马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？ 这就是被称为将军饮马而广为流传的问题。 * P 两点之间线段最短. 根据： B A (一)两点在一条直线两侧 例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中 马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？ 最短路线： 将军饮马： A ---P--- B. * 例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？ A B 河 两点在一条直线同侧 (二)一次轴对称： * 　　追问1　这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 　　将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线． 探索新知 B · · A l * 探索新知 　　追问2　你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？ 现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时, AC 与CB 的和最小（如图）． B A l C * 　　作法： （1）作点B 关于直线l 的对称 点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交 于点C． 则点C 即为所求． 探索新知 　　问题 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和