1第1章复数与复变函数〔修定).ppt

复变函数 与积分变换 厦门工学院 数学教研室 王 锋 例3． 解： 参数方程为 由参数式得复数形式参数方程为 定义：若平面上曲线的参数方程为： 则定义 4、复数形式的参数方程 例5． 参数方程为 解： 例4*． 解： 直线的参数方程 例6*．求下列方程所表示的曲线 解： 四、单连通区域与多连通区域 设D为一平面区域，若在D中任作一条简单闭曲线，而曲线内部总属于D， 则称D为单连通区域，否则是多连通区域． 单连通区域的特征：属于D的任何一条简单闭曲线，在D内可经过连续 变形而缩成一点． 单连通区域 多连通区域 洞 第四节 无穷大与复球面（不讲） 一、无穷远点 为了讨论问题方便，我们不但要讨论有限复数，还要讨论一个特殊的复数 -------无穷大， 它是由下式定义的： 加法： 减法： 乘法： 除法： 而实部、虚部和辐角均没有意义， * * 教材与参考用书 教材：《复变函数与积分变换》（第三版）, 华中科技大学数学系, 高等教育出版社 参考书1 《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 高等教育出版社 参考书2 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室，高等教育出版社 参考书3 《积分变换》, 东南大学, 高等教育出版社 目 录 第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 解析函数的级数表示 第五章 留数及其应用 第八章 傅立叶变换 第九章 拉普拉斯变换 第一章 复数与复变函数 第一章 复数与复变函数 内容提要： 复变函数就是自变量为复数的函数，本章先学习复数的概念、性质与运算，然后再引入平面上的点集、复变函数极限、连续．本章中的许多概念在形式上与微积分学中一些基本概念有相似之处，可以把它们看作微积分学中相应的概念及定理在复数域中的推广． 第一章 复数与复变函数 1.1 复数 1.2 复数的三角表示 1.3 平面点集的一般概念 1.4 无穷大与复球面（不讲） 1.5 复变函数 第一节 复数 一、复数的基本概念 二、复数的代数运算 1. 复数的和、差、积、商、模 和与差： 积： 商： 注：复数的运算满足交换律、结合律、分配律． 模： 2．共轭复数及性质 重要性质： 注：复数的共轭性质在实际计算和证明中有广泛应用 例1．计算复数 解： 法一（商的公式） 法二（共轭性质） 注：某些情况应用共轭性质计算显得简单，在计算中要灵活运用共轭性质。 例2． 解： 由题意得 例3． 解： 例4． 证明： 证法二： 第二节 复数的表示法 一、复平面 定义： 复数的模： 复数的辐角： 主辐角： 注：复数的辐角Argz是多值的 二、复数的表示法 1．复数的向量表示法 因此 显然有不等式： 复数、复平面上点、向量之间一一对应 2．复数的三角表示法 利用直角坐标与极坐标的关系： 复数的三角表示式： 3．复数的指数表示法 p(44) 利用欧拉公式： 复数的指数表示式： 注意：复数的三角表示式不是唯一的，因为辐角有无穷多种选择，如果有两个三角表示式相等： 则可以推出： 主辐角值的确定： 例1． 解： 于是 例2： 主辐角 解： 模 作业：练习册 1.1 复数 三、用复数的三角表示及指数表示作乘除法 即： 模 辐角 定理1：两个复数乘积的模等于它们模的乘积，辐角等于它们的辐角之和． 说明： 定理2：两复数的商的模等于它们模的商，辐角等于被除数与除数的辐角之差． 证明： 即： 模 辐角 例5．用三角表示式和指数表示式计算下列复数 解： 四、复数的乘方与开方、棣摩弗公式 1．乘方公式 这公式称棣摩弗公式． 2．开方公式 注： 例7．计算下列各题： 解： 即： 例8． 解： 其解为 作业：练习册 1.1 复数 练习册 1.2 复数的三角表示与指数表示 复习：高等数学第九章第一节多元函数的基本概念 第三节 平面点集的一般概念 研究复变函数问题，和实函数一样，每个复变量都有自己的 一、开集与闭集 1.邻域： 2.内点： 3.开集： 4.余集与闭集： 变化范围，复变量的变化范围同于二元函数的变化范围称为区域． 5．边界： 6．孤立点： 7．有界集与无界集： 二、区域 1．连通： 设G中任何两点都可以用完全属于