2.1立体几何中的向量方法.ppt

立体几何中的向量方法 要点梳理 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 （1）直线的方向向量：在直线上任取一 向 量作为它的方向向量. （2）平面的法向量可利用方程组求出：设a,b是 平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量， 则求法向量的方程组为 非零 . 基础知识 自主学习 题型一 利用空间向量证明平行与垂直 如图所示，在四棱锥P—ABCD中， PA⊥底面ABCD，AB⊥AD， AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC, E是PC的中点.证明： (1)AE⊥CD; (2)PD⊥平面ABE. 题型分类 深度剖析 证明 AB、AD、AP两两垂直，建立如图 所示的空间直角坐标系，设PA=AB=BC=1， 则P（0，0，1）. (1)∵∠ABC=60°， ∴△ABC为正三角形. (2)方法一 方法二 例3 如图5，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点， 证明 平面AED⊥平面A1FD1； A B C D E F A1 B1 C1 D1 z x y 图5 证明 以D为原点建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则A（2,0,0）,D（0,0，0）, D1（0，0，2），E（2，2 ,1）， F（0,1,0），A1（2，0，2） 设平面AED的法向量为 =(x1，y1，z1)，平面A1FD1 的法向量为 =(x2，y2，z2), 则 所以，面AED⊥面A1FD1 证明线面平行和垂直问题，可以用几 何法，也可以用向量法. 用向量法的关键在于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定理及两向量垂直的判定定理.若能建立空间直角坐标系，其证法较为灵活方便. 知能迁移1 如图所示,平面PAD⊥平面 ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直 角三角形，且PA=AD=2，E、F、G分 别是线段PA、PD、CD的中点. 求证：PB∥平面EFG. 证明 ∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形, ∴AB、AP、AD两两垂直，以A为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz， 则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、 P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0). 即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1)， 知能迁移2 如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥ 平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥ AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE= . 证明平面AMD⊥平面CDE; (1)解 如图所示，建立空间直 角坐标系，点A为坐标原点，设 AB=1，依题意得B(1,0,0), C(1,1,0)，D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1)， (2)证明 又AM∩AD=A，故CE⊥平面AMD.而CE平面 CDE，所以平面AMD⊥平面CDE. 方法与技巧 1.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路: 一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进 行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量， 共分三步:（1）建立立体图形与空间向量的联 系，用空间向量（或坐标）表示问题中所涉及 的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问 题；（2）通过向量运算，研究点、线、面之间 的位置关系；（3）根据运算结果的几何意义来 解释相关问题. 思想方法 感悟提高 失误与防范 1.用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立 体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证 明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行, 即化归为证明线线平行，用向量方法证直线 a∥b，只需证明向量a=λb（λ∈R）即可.若用 直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面 平行，仍需强调直线在平面外.