2.3〔放缩法与反证法证明不等式〕课件〔新人教选修4–5)..ppt

不等式的证明 复习 不等式证明的常用方法: 比较法、综合法、分析法 反证法： 假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。 反证法的思维方法： 正难则反 反证法的基本步骤： （1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成-------立； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 ------论正确 归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。 应用反证法的情形： (1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题； 例：用反证法证明： 如果ab0，那么 例题 例2、已知a + b + c 0，ab + bc + ca 0， abc 0， 求证：a, b, c 0 证：设a 0, ∵abc 0, ∴bc 0 又由a + b + c 0, 则b + c ?a 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0 与题设矛盾 若a = 0，则与abc 0矛盾， ∴必有a 0 同理可证：b 0, c 0 例3、设0 a, b, c 1，求证：(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a, 不可能同时大于1/4 则三式相乘： (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a 又∵0 a, b, c 1 ∴ 同理： 以上三式相乘： (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤ 与①矛盾∴结论成立 证明：设(1 ? a)b1/4, (1 ? b)c1/4, (1 ? c)a1/4, 在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如： 要证bc,只须寻找b1使bb1且b1≤c(放大) 要证ba,只须寻找b2使bb2且b2≥a(缩小) 这种证明方法,我们称之为放缩法。 放缩法的依据就是传递性。 放缩法 例1、若a, b, c, d?R+，求证： 证：记m = ∵a, b, c, d?R+ ∴1 m 2 即原式成立 法１： 证明：在　　　　时，显然成立. 当　　　　时，左边 法２： 法３：函数的方法 例4、巳知：a、b、c∈　　，求证： 略解 小结 在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如： 要证bc,只须寻找b1使bb1且b1≤c(放大) 要证ba,只须寻找b2使bb2且b2≥a(缩小) 这种证明方法,我们称之为放缩法。 放缩法的依据就是定理2（传递性性质） 课堂练习 1、当 n 2 时，求证： 证：∵n 2 ∴ 　　　　　 ∴n 2时, 课堂小结 证明不等式的特殊方法: （1）放缩法：对不等式中的有关式子进行 适当的放缩实现证明的方法。 （2）反证法：先假设结论的否命题成立， 再寻求矛盾，推翻假设，从而证明结 论成立的方法。