2微分方程模型〔人口模型).ppt

Malthus模型预测美国人口 Malthus模型预测美国人口误差分析 Malthus模型预测的优缺点 Logistic模型预测美国人口 Logistic模型预测的优缺点 Logistic模型预测美国人口误差分析 * 微分方程模型实例1——人口模型 * 5.3.1 人口增长模型 5.3.1.1 马尔萨斯(Malthus)模型 Malthus (1766-1834), 英国的经济学家和人口统计学家，根据百余年的统计资料，在1798年提出了闻名于世的人口指数增长模型，即Malthus人口模型. 人口以几何级数增加！ 考虑一个国家或地区的人口总数随时间变化的情况，记x(t)为t时刻该国家或地区的人口总数，对一个国家而言，迁入和迁出人数相对很小，故略去迁移对人口变化的影响，即人口变化仅与出生率和死亡率有关。 模型假设 假设人口的出生率与死亡率之差与总人口成正比(即单位时间内人口增量与人口总数成正比) ，记为B-D=rx(t). 比例常数r称为自然增长率，它可以通过人口统计数据得到(即为常数) . 模型建立 模型分析 人口将按指数规律无限增长！ 人口将始终保持不变！ 人口将按指数规律减少直至绝灭！ 模型求解 用马尔萨斯(Malthus)模型估计我国人口的变化情况。为了方便对比，取1982年人口普查时得到的人口总数为初始值，即x0=10.1541亿，自然增长率r=1.4% ， t0=1982， 用公式 估计后各年我国总人口的变化，其结果如后表从表可以看到，在1983年到1990年的8年中，用马尔萨斯(Malthus)模型的相 对误差均在2％以下，这表明此模型比较准确的预测了短期内人口变化的规律。 优点： 短期预报比较准确 缺点： 不适合中长期预报 原因： 该模型中的关键假设是自然增长率仅与人口出生率和死亡率有关，且是常数。这一假设使模型简单实用，但这一假设也导致了人口无限制的增长，显然用该模型来作长期人口预测是不合理的，需要改进。 没有考虑环境对人口增长的制约作用。 5.3.1.2 洛杰斯蒂克(Logistic)模型 提出背景 人们发现在人口比较稀少，资源较丰富的条件下，人口增长较快，可以在短期内维持常数增长率；但当人口数量发展到一定水平后，会产生许多问题，如食物短缺，交通拥挤等，这又导致人口增长率的减少，这种现象在某些动物种群的实验中也观察到。 在1837年，荷兰生物数学家Verhulst引入常数K，表示人类生存空间及可利用资源(食物、水、空气)等环境因素所能容纳的最大人口数量(也称为饱和系数或环境容纳量)。 5.3.1.2 洛杰斯蒂克(Logistic)模型 模型假设 模型建立 人口增长的洛杰斯蒂克 (Logistic)模型： 模型分析 模型求解 人口增长率达到最大值 优点 其用途十分广泛，除了用于预测人口增长之外，也可完全类似地用于虫口增长、疾病的传播、谣言的传播、技术革新的推广、销售预测等。 中期预报比较准确。 缺点 理论上很好，实用性不强 原因 预报时假设固有人口增长率 r 以及最大人口容量 K为定值。 实际上这两个参数（特别是 K）很难确定，而且会随着社会发展情况变化而变化。 前面图中曲线末端分叉就是由于这个原因。 1) 人口数量的增长速率不仅与现有人口数量成正比，而且还与人口尚未实现的部分(相对于最大容量而言)所占比例成正比，比例系数为固有增长率(或称内增长率)，也记为。 2) 在此基础上，对马尔萨斯(Malthus)模型进行改进。故可假设，这反映人口增长率随人口数量的增加而减少的现象。 种群数量模型： 若用表示时刻某范围内一种群的数量或密度，当种群数量较大时，将看作的连续函数，则的变化与出生、死亡、迁入、迁出等因素有关.若用分别表示种群的出生率、死亡率、迁入率、迁出率，则种群数量或密度变化的一般模型是： (.11) 以下介绍的模型都是根据这个原理建立的. 当时，人口将以指数规律增长。在实际应用中，一般以年为间隔考察人口的变化情况，即取这样就得到以后各年人口的总数为这表明人口以公比为的等比级数的速度增长，这就是马尔萨斯提出的“人口以几何级数增长”的理论基础。 (1) 由，得是稳定的平衡点。其人口学含义是，。 (2) 当时，，当时，，其人口学含义是说，(3) 由于的右端为的二次函数，易证当时， 达到最大值，即。此结论说明：。 在Malthus模型上增加一个竞争项，它的作用是使纯增长率减少。如果一个国家工业化程度较高，食品供应较充足