3.1平行射影课件〔人教A选修4–1).ppt

* 返回 * 返回 * [读教材·填要点] 1．正射影 (1)点A是平面α外一点，过点A向平面α作垂线，设垂 足为点A′，那么把 称作点A在平面α上的正射影． (2)一个图形F上的各点在平面α上的 组成一个 图形F′，则 称作图形F在平面α上的正射影． 2．平行射影 设直线l与平面α相交，把直线l的方向称 ，过点A作平行于l的直线，与平面α交于点A′，点A′称作点A 在平面α上的平行射影． A′ 正射影 图形F′ 投影方向 沿直线l的方向 [小问题·大思维] 1．正射影与平行射影之间有什么关系？ 提示：正射影是平行射影中方向与平面垂直的一种特殊情况． 2．一个圆在一个平面上的正射影是什么形状？平行射影呢？ 提示：若一个圆所在平面β与平面α平行，该圆在平面α内的正射影为一个圆；如果β与平面α垂直，则圆在平面α的正射影为一条线段；若平面β与平面α不平行也不垂直时，该圆在平面α上的正射影为一个椭圆．综上可知，一个圆在一个平面上的射影可能为一条线段、椭圆或圆． [研一题] [例1]　P为△ABC外一点且PA＝PB＝PC. 求证：P在面ABC内的射影为△ABC的外心． 分析：本题考查射影的概念，解答本题需先作出点P在面ABC内的射影，然后证明该射影为△ABC的外心． 证明：如图．过P作PO⊥面ABC于O. 则O为P在面ABC内的射影， ∵PA＝PB，PO＝PO， ∴Rt△PAO≌Rt△PBO， ∴AO＝BO.同理BO＝CO， ∴AO＝BO＝CO，∴O为△ABC的外心． 即P在面ABC内的射影是△ABC的外心． [悟一法] 因为点在任何平面上的投影仍然是点，所以解决此类问题的关键是正确作出点在平面内的射影． [通一类] 1.如图，P是△ABC所在平面α外一点， O是点P在平面α内的正射影． (1)若P点到△ABC的三边距离相等， 且O点在△ABC的内部，那么O点是 △ABC的什么心？ (2)若PA、PB、PC两两互相垂直，O点是△ABC的什 么心？ 解：(1)由P到△ABC的三边距离相等，故有O到△ABC的三边距离相等，∴O为△ABC的内心． (2)∵PA⊥PB，PA⊥PC， ∴PA⊥BC， 又∵PO⊥BC， ∴OA⊥BC，同理OB⊥AC，OC⊥AB， ∴O为△ABC的垂心. [研一题] [例2]　有下列4个命题： ①矩形的平行投影一定是矩形； ②矩形的正投影一定是矩形； ③梯形的平行投影一定是梯形； ④梯形的正投影一定是梯形，其中正确命题的个数是(　　) A．0　　　　　　　　　B．1 C．2 D．3 解析：本题考查平行射影的概念，解答本题需要考虑到投影面的位置不同，则投影的形状会不同．①矩形的平行投影可以是矩形、平行四边形或线段，不正确；②矩形的正投影也有矩形、平行四边形、线段三种情况，不正确；③梯形的平行投影可以是梯形、线段，不正确；④梯形的正投影也可能是梯形、线段，不正确． 答案：A [悟一法] 不论是正射影还是平行射影都应考虑图形所在的平面与投影方向的夹角的变化关系，注意不漏、不缺，要全面． [通一类] 2．关于直角AOB在定平面α内的射影有如下判断：①可 能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角，其中正确判断的序号是________(注：把你认为是正确判断的序号都填上)． 解析：设直角AOB所在平面为β，在α与β垂直时直角AOB射影为一条射线，从而射影为0°的角，α与β平行时射影为直角，随着α与β所成角的变化也可以为锐角、钝角或平角，因而正确的结果为①②③④⑤. 答案：①②③④⑤ [例3]　设四面体ABCD各棱长均相等，E、F分别为AC、AD的中点，如图，则△BEF在该四面体的面ABC上的射影是下列中的 (　　) 解析：本题考查正射影的应用．解答此题的关键是确定F在平面ABC上的射影的位置． 由于BE＝BF，所以△BEF为等腰三角形，故F点在平面ABC上的正射影不在AC上而在△ABC内部，又由于EF与CD平行，而CD与平面ABC不垂直，所以F点在平面ABC上的正射影不在直线BE上，从而只有B图形成立． 答案：B [悟一法] 确定一个几