3.2.3空间向量法求角.ppt

今日作业 课本P112 A6 * 广东省阳江市第一中学周如钢 例1 例2 例2答案 作业及练习 例2答案 空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决空间角问题。 立体几何要解决的主要问题是空间图形的形状、大小及其位置关系.其中点到直线、点到平面之间的距离问题以及直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的夹角问题是立体几何研究的重要问题. 上一节,我们认识了直线的方向向量及平面的法向量的概念,发现可以利用这两个向量的运算(特别是数量积) 解决点、直线、平面之间的平行、垂直、夹角等问题. 3.2.3 利用向量解决 空间角问题 jchay 数量积： 夹角公式： 异面直线所成角的范围： 思考： 结论： 题型一：线线角 小结 例一： 题型一：线线角 所以 与 所成角的余弦值为 解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则： 所以： 题型一：线线角 练习： 题型一：线线角 在长方体 中， 题型二：线面角 直线与平面所成角的范围： 思考： 结论： 题型二：线面角 例二： 题型二：线面角 在长方体 中， 练习1： 的棱长为1. 题型二：线面角 正方体 题型三：二面角 二面角的范围： 关键：观察二面角的范围 题型三：二面角 设平面 练习2: 练习2: 练习3: 正三棱柱 中，D是AC的中点,当 时，求二面角 的余弦值. C A D B C1 B1 A1 解:如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.设底面三角形的边长为a，侧棱长为b 则 C(0,0,0), 故 由于 ,所以 ∴ y x z C A D B C1 B1 A1 在坐标平面yoz中 ∵ 设面 的一个法向量为 可取 ＝（1，0，0）为面 的法向量 ∴ 练习3: 小结： 1.异面直线所成角： 2.直线与平面所成角： 3.二面角： 关键：观察二面角的范围 * 广东省阳江市第一中学周如钢 例1 例2 例2答案 作业及练习 例2答案 * * 可求出一个∴所求的余弦值为. 设平面PAB的法向量为=(x,y,z), 分析: 若用几何法本题不太好处理,注意到适当建立空间直角坐标系后各点坐标容易处理,可考虑尝试用向量法处理,从而把问题转化为向量运算问题. 解:建立坐标系如图, 则A(0,0,0),B(,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1), 刚才的思考具有一般性,当解空间图形问题几何法难进行时,可以尝试运用空间向量(或坐标)来处理(三步曲): ∴cos,∵二面角为锐角∴二面角A-PB-C的余弦值为 .如图,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, BC=,求二面角A-PB-C的余弦值. 则 =(0,0,1),, ∴∴,令x=1,则=(1,, 如图,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, BC=,求二面角A-PB-C的余弦值. 解:建立坐标系如图, 则A(0,0,0),B(,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1), 如图,PA⊥平面ABC, AC⊥BC,PA=AC=1,BC=, 求二面角A-PB-C的余弦值. =(0,0,1),, 立体几何中的向量方法 设平面PAB的法向量为=(x,y,z),则 设平面PBC的法向量为, ∴令