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3.5矩、协方差矩阵
三. 矩、偏态、峰态 四. 协方差矩阵 * * 定义3.6 设X,Y是两个随机变量 （1）若 存在，则称它为X的k阶原点 矩，记为 （2）若 存在，则称它为X的k 阶中心矩，记为 （3）若 存在，则 称它为k+l阶混合中心矩。 由定义可知，X的数学期望E(X)就是X的一阶原点矩，方差D(X)是X的二阶中心矩，而(X，Y)的协方差cov(X,Y)是二阶混合中心矩。 例3.19 设随机变量X服从正态分布 中心矩 求它的 解 已知， 因此 令 则 此广义积分绝对 收敛。当k为奇数时 当k为偶数时，令 则 特别，当k=4时 不难知道，如果随机变量的概率分布关于期望值 是对称的，则它的一切奇数阶中心矩都等于零。 一般地，奇数阶中心矩可以描述随机变量分布的非对称性。通常用 来度量随机变量分布的非对称性，称它为偏态系数，简称为偏态。 四阶中心矩可以描述随机变量分布的尖峭程度，通常用 来度量分布的尖峭程度，称它为峰态系数，简称为峰态。正态分布的偏态和峰态都等于零。 定义3.7 设 是n维随机变量，若 存在，记 则称矩阵Σ为n维随机变量X的协方差矩阵 显然，协方差矩阵是一个对称矩阵，而且，它是半正定矩阵，当σi0(i=1,2,…,n)时它是正定矩阵。 例3.20 设 二维正态分布 试求其协方差矩阵。 解 已经求得 于是 对于二维随机变量(X,Y) (X,Y)的协方差矩阵为 * * *
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