3.5第5节两角和与差的正弦、余弦和正切公式.ppt

【例3】已知 且0＜β＜α＜ (1)求tan2α的值； (2)求β. 【解题指南】(1)利用同角三角函数关系式求出sinα,tanα,再求出tan2α；(2)把β写成α-(α-β)，根据已知条件求出α的正弦，α-β的正弦，求出cosβ，根据范围确定角. 【规范解答】(1)由 得 ∴tanα= 于是 (2)由0＜β＜α＜ ,得0＜α-β＜ . 又∵cos(α-β)= ∴sin(α-β)= 由β=α-(α-β),得cosβ=cos［α-(α-β)］ =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) 【反思·感悟】根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围.另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式sinBcosA＝sinAcosB两端同除以cosAcosB得tanB=tanA等变化技巧也经常用到. 【变式训练】已知 α、β、γ均为锐角，求α+β+γ的值. 【解析】 ∵tanα= ＜1且α为锐角，∴ 同理 三角函数的综合应用 【方法点睛】三角函数公式和三角函数性质的关系 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查 往往渗透在研究三角函数性质中.需要利用这些公式,先把函数 解析式化为 的形式,再进一步探讨定义域、值 域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质. (2)注意特殊角三角函数值、诱导公式等基础知识的应用，主 要考查基本运算能力． 【例4】已知函数f(x)=2sin(π-x)cosx. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值. 【解题指南】先利用诱导公式和倍角公式进行恒等变换，再求三角函数的性质. 【规范解答】(1)∵f(x)=2sin(π-x)cosx=2sinxcosx=sin2x, ∴函数f(x)的最小正周期为π. (2)由 ∴ ∴f(x)在区间 上的最大值为1，最小值为 【反思·感悟】利用三角函数公式进行三角恒等变形，要求熟 练掌握公式和变换技巧，强化运算能力.以基本三角函数的性 质为基础求 的性质，有时给出角的范围时要注 意 的范围的变化. 【变式训练】设函数f(x)= +sinωxcosωx+a(其中 ω＞0,a∈R),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横 坐标为 (1)求ω的值； (2)如果f(x)在区间 上的最小值为 求a的值. 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 三年12考 高考指数:★★★ 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简、求值是高考的常考点. 2.公式逆用、变形应用是高考热点. 3.在选择题、填空题、解答题中都有所考查. 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 两角和与 差的正切 两角和与 差的余弦 两角和与 差的正弦 公式 公式名 【即时应用】 (1)判断下列式子的正误.(请在括号内打“√”或“×”) ①cos15°=cos(45°-30°)=cos45°-cos30° ( ) ②sin15°=sin(45°-30°)=cos45°sin30°-sin45°cos30° ( ) ③cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45° ( ) ④cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°-sin60°sin45° ( ) (2)计算sin72°cos18°+cos72°sin18°=______. (3)计算cos72°cos12°+sin72°sin12°=______. 【解析】(1)cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+ sin45°·sin30°,故①错误；sin15°=sin(45°-30°) =sin45°·cos30°-cos45°sin30°，故②错误;③正确，cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°, 故④错误.