6.1空间曲面及其方程多元函数.ppt

高等数学多媒体课件 第六章 多元函数微积分 主 要 内 容 第一节 空间曲面及其方程  多元函数 一、空间直角坐标系 3、向量及其运算 (5)利用坐标作向量的线性运算 内容小结 二、空间曲面与方程的概念 三、空间常见的空间曲面及其方程 1. 平面及其方程 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 内容小结 2. 直线 一、空间直线方程的一般方程 二、空间直线方程的对称式方程和参数方程 内容小结 4、旋转曲面 5、二次曲面 内容小结 思考与练习 四、多元函数 第六章 一、区域 二、多元函数的定义 三、二元函数的几何意义 四、二元函数的极限与连续性 1. 区域 点集 称为点 P0 的? 邻域. 例如,在平面上, (圆邻域) 在空间中, (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径? ,也可写成 点 P0 的去心邻域记为 开区域 闭区域 ? ? ? ? 例如，在平面上 设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 任取一组满足上述方程的数 则 显然方程②与此点法式方程等价, ② 的平面, 因此方程②的图形是 法向量为 方程. (General Equation of a Plane) 特殊情形 ? 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; ? 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; ? A x+C z+D = 0 表示 ? A x+B y+D = 0 表示 ? C z + D = 0 表示 ? A x + D =0 表示 ? B y + D =0 表示 平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. 解: 因平面通过 x 轴 , 设所求平面方程为 代入已知点 得 化简,得所求平面方程 例2 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 例3 用平面的一般式方程导出平面的截距式方程. 解　设所求的平面的方程为 得所求方程为 平面的截距式方程 1. 平面基本方程: 一般式 点法式 截距式 第六章 一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程 二、空间直线的参数方程 因此其一般式方程 直线可视为两平面交线， (不唯一) (Symmetric Expression) 1. 对称式方程（点向式方程) 故有 说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零. 设直线上的动点为 则 此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) 直线方程为 已知直线上一点 例如, 当 和它的方向向量 设 得参数式方程 : 3. 参数式方程 (Parametric Form ) 例7 把直线L的一般方程 化为对称式方程和参数方程. 解 即有 因此，直线L的对称式方程为： 令 则得直线的参数方程为 1. 空间直线方程 一般式 对称式 参数式 3、柱面 引例 分析方程 表示怎样 的坐标也满足方程 解:在 xoy 面上 表示圆C, 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆 故在空间 过此点作 柱面. 对任意 z , 平行 z 轴的直线 l , 表示圆柱面 在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程, 的曲面 ? 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. ? 表示抛物柱面, 母线平行于 z 轴; 准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面. ? z 轴的平面. ? 表示母线平行于 (且 z 轴在平面上) 表示母线平行于 C 叫做准线, l 叫做母线. 定义 柱面, 柱面, 平行于 x 轴; 平行于 y 轴; 平行于 z 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3: H(z,x)=0. 母线 柱面, 准线 xoy 面上的曲线 l1 : F(x,y)=0. 母线 准线 yoz 面上的曲线 l2 : G(y,z)=0. 母线 一般地,在三维空间 定义 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴 ,旋转曲线叫做旋转曲面的母线. 例如 : 故旋转曲面方程为 当绕 z 轴旋转时, 若点 给定 yoz 面上曲线 C: 则有 则有 该点转到 建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 求旋转曲面方程时,平面曲线绕某坐标轴旋转,则该坐 标轴对应的变量不变,而曲线方程中另一变量写成 该变量与第三变量平方和的正负平方根. 思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？ 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕