6︰概率统计建模法.ppt

概率统计建模法 1 报童的秘诀 2 自动化车床管理 最小二乘法 插值方法 例8 人口问题的偏微分方程模型 例9 交通流问题 将公式（1）—（4）用来比较1976年奥运会的抓举成绩，各公式对九个级别冠军成绩的优劣排序如表 所示，比较结果较为一致，例如，对前三名的取法是完全一致的，其他排序的差异也较为微小。 138.5(8) 141.9(7) 135.6(7) 131.8(8) 175 110 150.3(2) 152.9(2) 150.5(2) 148.3(2) 170 90 152.1(1) 153.5(1) 152.2(1) 151.3(1) 162.5 42.5 145.0(6) 145.0(5) 145.0(3) 145.0(6) 145 75 145.8(5) 144.7(6) 144.8(5) 146.1(5) 135 67.5 147.7(3) 146.2(3) 145.0(3) 147.8(3) 125 60 146.6(4) 145.7(4) 142.8(6) 146.3(4) 117.5 56 138.8(7) 139.7(8) 134.0(8) 138.2(7) 105 52 Vorobyev O’ Carroll 经典公式 Austin 抓举成绩 (公斤) 体重 (公斤) 我们希望建立一个 体重与身高之间的关系式，不难看出两者之间的关系不易通过机理的分析得出，不妨可以采取 统计方法，用数据来拟合出与实际情况较为相符的经验公式。 为此，我们先作一番抽样调查，测量了十五个不同高度的人的体重，列成了 下表，在抽样时，各高度的人都需经适当挑选，既不要太胖也不要太瘦。 例2 体重与身高的 关系 将表中的数画 到h-w平面上，你会发现这些数据分布很接近某一指数曲线。为此， 对h和w均取对数，令x=lnh，y=lnw，将（xi，yi）再画到x-y平面中去（i=1,…,15），这次你会发现这些点几乎就分布在一条直线附近，令此直线的 方程为y=ax+b，用最小二乘法求 得a≈2.3,b≈2.82，故可取y=2.32x+2.84，即lnw=2.32lnh+2.84，故有w=17.1h2.32 75 66 59 54 51 体重 w（公斤） 1.85 1.78 1.71 1.67 1.63 身高 h（米） 50 48 41 35 27 体重 w（公斤） 1.60 1.55 1.51 1.35 1.26 身高 h（米） 20 17 15 12 10 体重 w（公斤） 1.12 1.08 0.96 0.86 0.75 身高 h（米） 在使用 最小二乘法 时，我们并未要求得到的拟合曲线一定要经过所有的样本点，而只是要求 了总偏差最小。当实际问题要求拟合曲线必须 经过样本点 时，我们可以应用数值逼近中的 插值法。 根据实际问题的不同要求，存在多种不同的插值方法，有只要求过样本点的 拉格朗日插值 法、牛顿插值法 等，有既要求过插值点（即样本点）又对插值点处的导数有所要求的样条（Spline）插值，甚至还有对插值曲线的凹凸也有要求的B样条插值法 。本课不准备详细介绍这些细致的插值方法，只是提请读者注意，在建立经验模型时，插值法也是可以使用的数学工具之一。 对插值法感兴趣的 同学可以查阅相关书籍，例如由 李岳生编著上海科学技术出版社出版的《样条与插值》（1983年出版）等。 人有年龄、性别等区别，本例中考虑到这些因素，用分布参数法来建立人口问题的数学模型。 令p(t,x)为t时刻年龄为x的人口密度，则t时人口总数为： 其中A为人的最大寿命。 设t时刻年龄为x的人的死亡率为d(t,x)，则有： dx=dt，由上式可导出： （3.38） 初始条件: P(0,x)=P0(x) （3.39） 边界条件: （3.40） k(t,x)女性性别比 b(t,x)女性生育率 [x1,x2]妇女生育期 对（3.38）式关于x从0到A积分，得： 令： B(t)、D(t)分别为t时刻的生育率和死亡率。则有： 若B(t)、D(t)与t无关，则可得: 此即Malthus模型 问题的两个角度： 司机或旅客 安全、快速地到达目的地 交通管理部门 尽可能多的人安全地通过 集中参数法： 假设车流量是均匀分布 目标使车流密度保持在安全的范围之内，让司机尽可能开得快些即可，必要时司机自己会刹车。 现实生活中可能吗？ * 报童的秘诀 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有买掉的报纸退回 试为报童设计一个购进报纸数量。 概率建模法 分析：众所周知，应该根据需求量确定购进量，需求量是随机 的