2012届总复习＿走向清华北大＿40椭圆.ppt

【典例4】已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A?B两点(A?B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标. [分析](1)由a+c=3,a-c=1,可求a、c.(2)直线方程与椭圆方程联立后得到交点A?B的坐标关系,再根据以AB为直径的圆过椭圆的右顶点可得到两直线垂直,从而求得交点A?B的坐标关系,联立后可求k、m的关系. [反思感悟](1)直线方程与椭圆方程联立,消元后得到一元二次方程,然后通过判别式Δ来判断直线和椭圆相交?相切或相离的情况. (2)消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标,通常是写成两根之和与两根之积的形式,这是进一步解题的基础. 错源一 定义理解不清致错 【典例1】已知A(4,0),B(2,2)是椭圆 内的一点,如图所示,M是椭圆上的一动点,求|MA|+|MB|的范围. [错解]欲使|MA|+|MB|最大或最小,考虑动点M在椭圆上的位置,再结合图形,由于A是椭圆的右焦点,当M是左顶点时,|MA|最大,当M是右顶点时,|MA|最小.于是|MA|+|MB|的最大值为 最小值为 [剖析]当|MA|最大时,|MA|+|MB|就一定最大吗?显然,不一定. [正解]易知A(4,0)为椭圆的右焦点,设左焦点为F1,由a2=25知|MF1|+|MA|=10,因此|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF1|.问题转化为“求椭圆上一点到B,F1两点距离之差的最大值与最小值”;连接B,F1并延长交椭圆于两点;其一使|MB|-|MF1|最大,另一个使|MB|-|MF1|最小.则|MA|+|MB|的最大值为 最小值为 错源二 忽视焦点位置致错 [答案]12或20 错源三 忽视变量的范围致错 [剖析]Δ≥0只能保证方程x2-6x+2k=0有解,而不能保证原方程组有解.因为原方程组中有隐含条件0≤x≤2,消去y后得到关于x的一元二次方程看不到这个限制条件. 技法一 求焦点位置不确定的椭圆方程 焦点位置不确定的椭圆标准方程常设为:mx2+ny2=1(m0,n0且m≠n). 【典例1】已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的2倍,并且过点P(2,-6),求椭圆的方程. 技法二 求与已知椭圆共焦点的椭圆方程 第*页 共 47 页 第四十讲 椭圆 回归课本 1.椭圆的定义 (1)定义:平面内两定点为F1?F2,当动点P满足条件点P到点F1?F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)时,P点的轨迹为椭圆;F1?F2是椭圆的两个焦点. (2)定义的数学表达式为:|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|). (3)注意:定义中,“定值大于|F1F2|”(即2a2c)是必要条件.当2a=2c时,动点轨迹是两焦点的连线段;而当2a2c时,动点轨迹不存在. 2.椭圆的标准方程与几何性质 考点陪练 1.已知两定点A(-1,0),B(1,0),点M满足|MA|+|MB|=2,则点M的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线 答案:C 答案:D 答案:A 答案:C 类型一 椭圆的定义 解题准备:(1)椭圆是圆锥曲线中最重要的内容之一,因而也是高考命题的热点.而椭圆的定义与标准方程往往是主要的考查点,也是研究其它椭圆问题的基础. (2)椭圆的定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的和为常数(大于|F1F2|)的动点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.用集合表示:椭圆上的点M满足集合 均为常数且2a2c. (3)涉及椭圆定义的问题时,一定要注意“2a2c”这一个前提条件.因为当平面内的动点与定点F1?F2的距离之和等于|F1F2|时,其动点轨迹就是线段F1F2;当平面内的动点与定点F1?F2的距离之和小于|F1F2|时,其轨迹不存在. 【典例1】一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与圆O2:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心的轨迹方程. [解]两定圆的圆心和半径分别是O1(-3,0),r1=1, O2(3,0),r2=9.设动圆圆心为M(x,y),半径为R, 则由题设条件,可知 |MO1|=1+R,|MO2|=9-R, ∴|MO1|+|MO2|=10, 由椭圆的定义知:M在以O1?O2为焦点的椭圆上,且 a=5,c=3,b2=a2-c2=25-9=16, 故动圆圆心的轨迹方程为 [反思感悟]先根据定义判断轨迹的类型,再用待定系