9.4.2斜线在平面上的射影及直线和平面所成的角.ppt

* 斜 线 在 平 面 上 的 射 影 直 线 和 平 面 所 成 的 角 p O 自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影； 这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。 一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。 斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段。 A C B 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影； 垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影。 斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。 A C B D E 垂线段比任何一条斜线段都短 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段AB、AC、AD、AE…中，那一条最短？ A C B O OB=OC ? AB=AC OB＞OC ? AB ＞AC AB=AC ? OB=OC AB ＞AC ? OB＞OC 射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长 相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长 A C B O 定理 从平面外一 点向这个平面所引的 垂线段和斜线段中， （1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长 （2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长 （3）垂线段比任何一条斜线段都短 1.点P是△ABC所在平面外一点，且P点到△ABC三个顶点距离相等，则P点在△ABC所在平面上的射影是△ABC的 心。 P C B A O 练习 外 练习 2.判断下列说法是否正确 （1）两条平行直线在同一平面内的射影 一定是平行直线 （ ） （2）两条相交直线在同一平面内的射影 一定是相交直线 （ ） （3）两条异面直线在同一平面内的射影 要么是平行直线，要么是相交直线 （ ） （4）若斜线段长相等，则它们在平面内 的射影长也相等 （ ） 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。 一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0 ?的角。 直线和平面所成角的范围是[0?，90?]。 练习 1 两条平行直线和一个平面所成的角相等吗？ 2 如果两条直线与一个平面所成的角相等，它们平行吗？ 3 从一点出发的平面的两条斜线段PA,PB,则PA=PB的充要条件是PA,PB在平面内的射影相等对吗？ l是平面? 的斜线，A是l上任意一点，AB是平面? 的垂线，B是垂足，OB是斜线l的射影，θ是斜线l与平面? 所成的角. θ与∠AOD的大小关系如何？ A l B O D C A l B O D θ与∠AOD的大小关系如何？ 在Rt△AOB中， 在Rt △AOC中， ∵AB＜AC，∴sinθ＜sin∠AOD ∴θ＜∠AOD 斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。 斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内任意的直线所成的一切角中最小的角。 C 最小角原理 例1.如图，AO是平面π的斜线，AB ⊥平面π于B，OD是π内不与OB重合的直线，∠AOB=? ，∠BOD= ? ，∠AOD= ，求证：cos =cos ? cos ? A B O D C ? 练习 1.AO与平面?斜交，O为斜足，AO与平面?成?角，B是A在?上的射影,OD是?内的直线，∠BOD=30?，∠AOD=60?，则 sin ? = 。 β A B O 2 如图，斜线段AB是其射影OB的两倍，求AB与平面β所成的角。 如图，在正方体AC1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角. 例 2 A1 B1 C1 D1 A B C D Rt△ABC的斜边AB在平面α内，AC和BC与平面α所成的角分别为30o 和45o ，CD是斜边AB上的高，求CD和平面α所成的角的大小. 例 3 例4.线段MN长6厘米，M到平面β的距离是1厘米，N到平面β的