C05I附录I–平面图形的几何性质.ppt

附录I 平面图形的几何性质 一、静矩、形心 分别为平面图形对z 轴和 y 轴的静矩。 附录I 平面图形的几何性质 o z y dA y z c ****若截面对某一个轴的静矩等于零，则该轴必通过截面的形心；反之，截面对于通过其形心的轴的静矩恒等于零。 平面图形形心的坐标公式 o z y dA y z c 二、惯性矩：（类似于转动惯量） 三、极惯性矩Ip：是面积对极点的二次矩。 四、惯性积：面积与其到两轴距离之积积分。 如果 x 或 y 是对称轴，则：Ixy =0 Z y d A y z r O 例 1 求下列截面的惯性积 。 y x 解：平行X轴取一窄长条，则 同理，可得： o y z dA y z d o y d D Z 圆形截面 对于圆环形截面 五、平行移轴公式（类似于转动惯量的平行移轴定理） 以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图 同理： 注意！C点必须为截面形心。 六、组合截面的惯性矩 则a1＝2cm，a2＝2cm。 例2：求对T字型形心轴YC和ZC的惯性矩。 解：1. 取参考轴YZ 2. 求形心 3. 求对形心轴的惯性矩 Z z2 zc z1 y c1 c c2 6cm 2cm 6 cm 2 cm y 1 y 2 a 2 a 1 yc 1 2 （yc） 例3 计算图示箱式截面对水平形心轴 z 的惯性矩 。 (mm) 150 100 800 50 50 · z 500 · 150 100 800 50 50 · · z y z 解：选参考系yz确定形心位置： 500 z1 y1 O A z y H B C D E F G 坐标转换的矩阵形式 七 转轴公式 已知：截面对 y、z 轴的惯性矩、惯性积 求解：截面对y1、z1轴的惯性矩、惯性积 显然 创造的机遇——提出问题：因为角度对应坐标系， 在哪个坐标系中，惯性矩为极大（ 或极小）？ 意义——对于给定的截面，选择坐标系使惯性矩 最大（抵抗弯曲的能力最强），避免惯性矩最小 说明取极大（或极小）惯性矩时 惯性积等于零 由方程 确定两个相互垂直的轴 —— 主惯性轴 z1 y1 O z y 也就是说：1、对于给定的截面 坐标轴选择得恰当，惯性矩极大； 2、同时，惯性矩极小的坐标轴， 恰好与前者（惯性矩极大的坐标轴） 垂直；3、两个坐标轴组成了 —— 主惯性坐标系 求解出 主惯性矩：主惯性轴上的惯性矩 将 代入 得到一大一小两个主惯性矩： 主形心惯性系：坐标原点取在截面形心上的主惯性系 主形心惯性矩：主形心惯性轴上的惯性矩 120 10 10 10 70 例 计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩 I II IIII C x y y0 x0 a0 图形的对称中心C为形心，在C点建立坐标系xCy如图 将整个图形分成I、II、III三个矩形，如图 整个图形对x、y轴的惯性矩和惯性积分别为 形心主惯 性矩大小 截面几何性质小结 1. 静矩、惯性矩依赖坐标系数值不同，但是不同坐标系 中的数值有一定的关系 2. Iz、Iy 恒为正，Sz、Sy、Iyz可正可负，与坐标轴位 置有关 3. 对形心轴静矩为0，对称轴 Iyz = 0，对称轴就是形心 主惯性轴 4. 平行移轴公式中，对形心轴的惯性矩最小 5. 主惯性系不唯一，但主形心惯性系唯一； 主形心惯性矩一个为最大，一个为最小 * *