〔几何与代数〕科学出版社第2章矩阵3.ppt

设A, B为s 阶t 阶可逆矩阵,Cs?t,Ot?s ,求 解: 设 X1 X2 X3 X4 A C O B Es O O Et = , 则 ? ? ? AX1 + CX3= Es AX2 + CX4= O BX3 = O BX4 = Et | | 解得X4 = B-1, X3 =O, X1 = A-1, X2 = ?A-1CB-1. 所以 A-1 ?A-1CB-1 O B-1 X1 X2 X3 X4 = = . A C O B -1 5. 分块求逆 A C O B -1 第二章 矩阵 §2.3 分块矩阵 则A可逆的充分必要条件是A1, A2, …, As都 可逆. 且当A1, …, As都可逆时,有 6.分块对角矩阵的逆矩阵 , 设分块对角矩阵A = A1 0 … 0 0 A2 … 0 … … … … 0 0 … As A?1 = A1?1 0 … 0 0 A2?1 … 0 … … … … 0 0 … As?1 . 其中, A1, A2,…, As 都是方阵, 第二章 矩阵 §2.3 分块矩阵 则A可逆的充分必要条件是A1, A2, …, As都 可逆. 且当A1, …, As都可逆时,有 6.分块对角矩阵的逆矩阵 设分块对角矩阵A = 0 … 0 A1 0 … A2 0 … … … … As … 0 0 , A?1 = 0 … 0 As?1 0 … As-1?1 0 … … … … A1?1 … 0 0 . 其中, A1, A2,…, As 都是方阵, 第二章 矩阵 §2.3 分块矩阵 例3 设矩阵 求 A 的逆 . 解 设D = a11 … a1m am1 … amm D1 = … … , 证明: D = D1D2. , D2 = b11 … b1n bn1 … bnn … … a11 … a1m 0 … 0 … … … … … … … … , am1 … amm 0 … 0 c11 … c1m b11 … b1n cn1 … cnm bn1 … bnn 7. 分块矩阵的行列式 A 0 C B 0 A B C = |A| |B| = (?1)mn |A| |B| A,B为m,n阶矩阵 ? |A| |B| ? |C| |D| A D C B A C 0 B = = C A B 0 第二章 矩阵 §2.3 分块矩阵 = |A1|?|A2|?…?|As|. 8.分块对角矩阵的行列式 |A| = A1 0 … 0 0 A2 … 0 … … … … 0 0 … As 其中, A1, A2,…, As 都是方阵, 第二章 矩阵 §2.3 分块矩阵 §2.3 分块矩阵 一. 矩阵的分块 三. 分块矩阵的应用 矩阵方程的求解 分块对角阵 按行 按结构 按列 分外层内层 双重转置 转置 乘法 二. 分块矩阵的运算 线性运算 线性组合 三. 分块矩阵的应用 线性方程组的表示形式 三. 分块矩阵的应用 线性方程组的表示形式之一 如何解多个系数矩阵都为A的方程组？ AX1 = B1 AX2 = B2 ? ? AXs = Bs ( AX1,?, AXs ) = ( B1,?, Bs ) A( X1,?, Xs ) = ( B1,?, Bs ) ? 矩阵方程 AX = B A? Rm?n, Bj ? Rm , Xj ? Rn , j= 1,2, ?,s. ? ? 用初等行变换求解矩阵方程： (A B) 初等 行变换 行 阶 梯 阵 r(A) = r(A B)? 行 最 简 形 无解 N 初等 行变换 Y 矩阵方程的求解 如何解多个系数矩阵都为A的方程组？ X B 例4. 求解BY = A, AX = B. 解： 第二章 矩阵 §2.3 分块矩阵 尤其要注意AB = 0时的特殊情况: 说明B 的每一列都是齐次线性方程组 Ax = 0的一个解. *例5 第二章 矩阵 §2.3 分块矩阵 AB的列向量 线性方程组的表示形式之二 即 称b是向量组 A1, A2, …, An 的线性组合。 x1, x2, …,