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第三章 动量守恒定律和能量守恒定律 3-6 功能原理 机械能守恒定律 质点的动能定理 一. 质点系的动能定理 B1 A1 B2 A2 由两个质点组成的质点系 两式相加： m1： m2： 外力对质点系的总功Wex 内力对质点系的总功Win 质点系的末动能Ek2 质点系的初动能Ek1 质点系的动能定理：外力对质点系做的功与内力对质点系做的功之和等于质点系动能的增量。 注意：内力虽成对出现，但内力功之和不一定为零（因各质点位移不一定相同）。 由于系统内保守力作的功等于势能的增量的负值 　　　Wc＝－（Ep－Ep0） 系统内力可以为保守力与非保守力，故系统内力所作的总功为 因此，系统内保守力作的功应为 二. 质点系的功能原理 —系统内保守力作功之和. —系统内非保守力作功之和. 则有 代入质点系动能定理 得 质点系的末机械能E2 质点系的初机械能E1 作用在质点系的外力功之和 非保守内力作功之和 上式可写成 质点系的机械能的增量等于外力与非保守内力作的功之和。称为质点系的功能原理。 注意： 二. 质点系的功能原理 ① 是外力对系统所作的功之和； ② 是非保守内力对系统内质点所作的功之和； ③ 功与能量的联系与区别： 功是能量变化与转换的一种量度，功总是和能量的变化与转换过程相联系。 能量则代表系统在一定状态下所具有的作功本领，与质点系统的状态有关。 对机械能来说，能量与系统的机械运动状态（即位置和速度）有关。 三. 机械能守恒定律 　 只有保守内力作功（外力和非保守内力不作功）时，质点系的总机械能保持不变 . 二. 质点系的功能原理 当 时 或 守恒定律的意义 不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是各个守恒定律的特点和优点 . 补充例题1 如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌面上，物体 A 和 C, B 和 D 之间摩擦因数均不为零，首先用外力沿水平方向相向推压 A 和 B， 使弹簧压缩，后拆除外力， 则 A 和 B 弹开过程中， 对 A、B、C、D 组成的系统 （A）动量守恒，机械能守恒 . （B）动量不守恒，机械能守恒 . （C）动量不守恒，机械能不守恒 . （D）动量守恒，机械能不一定守恒 . D B C A D B C A 系统受合外力为零，动量守恒. 但机械能不一定守恒，关键看A与C、B与D有无相对滑动. 解: 由牛顿第二定律和万有引力定律 例 已地球的半径为 RE ≈ 6.4×103 km, 今有质量为 m = 3.0×103 kg 的人造地球卫星从半径为 2 RE 的圆形轨道上 , 经如图所示的半椭圆形轨道上的点 a 变轨至半径为 4RE 的另一个圆形轨道点 b上. 点 a 和点 b 处的椭圆轨道与圆轨道的切线相切.试问: 卫星完成了变轨过程后获得了多少能量 ? a b o 已知：RE ≈ 6.4×103 km , m = 3.0×103 kg a b o —重力加速度 ∴由上式可得 卫星在a点的机械能为 已知：RE ≈ 6.4×103 km , m = 3.0×103 kg a b o 同理可得，卫星变轨至b点（半径为4RE）时的速率为 卫星在b点的机械能为 卫星变轨过程获得的能量 能量由卫星上的小火箭提供 本节小结： 本节结束 一. 质点系的动能定理 二. 质点系的功能原理 系统的机械能的增量等于外力与非保守内力作的功之和。 外力与内力对系统做的功之和等于系统总动能的增量。 三. 机械能守恒定律 只有保守内力作功（外力和非保守内力不作功）时，系统的总机械能保持不变 . 当 时 或 补充例 2 有一轻弹簧, 其一端系在铅直放置的圆环的顶点P, 另一端系一质量为m 的小球, 小球穿过圆环并在圆环上运动(不计摩擦) .开始小球静止于点 A, 弹簧处于自然状态,其长度为圆环半径R; 当小球运动到圆环的底端点B时,小球对圆环没有压力. 求弹簧的劲度系数. 解：以弹簧、小球和地球为一系统， ∵ A→B只有保守内力做功 ∴ 系统机械能守恒　Ep＝EA 　　取图中点B 为重力势能零点、弹簧自然伸长状态为弹性势能零点。