〔数学〕1.3.1〔算法案例〕.ppt

中国古代算法案例 韩信点兵 韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为建立汉朝立下了汗马功劳。据说他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，采用下述点兵方法：先令士兵从1~3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1~5报数，结果最后一个士兵报3，又令士兵从1~7报数，结果最后一个士兵报4。这样，韩信很快就算出了自己部队士兵的总人数。请设计一个算法，求出士兵至少有多少人？ 1、首先确定最小的满足除以3余2的正整数：2 2、依次加3就得到所有除以3余2的正整数：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，44，47，50，53，56…… 3、在上列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：8 4、然后依次加上15，得到：8，23，38，53，…… 不难看出，这些数既满足除以3余2，又满足除以5余3； 5、在第4步得到的一系列数中找出满足除以7余4的最小数53，这就是我们要求的数。 思考： 小学学过的求两个数的最大公约数的方法？ 先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来. 例：求下面两个正整数的最大公约数： （1）求25和35的最大公约数 （2）求49和63的最大公约数 25 （1） 5 5 35 7 49 （2） 7 7 63 9 所以，25和35的最大公约数为5 所以，49和63的最大公约数为7 思考：除了用这种方法外还有没有其它方法？ 例：如何算出8251和6105的最大公约数？ 新课讲解： 一、辗转相除法（欧几里得算法） 1、定义： 所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。 2、步骤： （以求8251和6105的最大公约数的过程为例） 第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=6105×1+2146 结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。 第二步 对6105和2146重复第一步的做法6105=2146×2+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。 完整的过程 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0 例： 用辗转相除法求225和135的最大公约数 225=135×1+90 135=90×1+45 90=45×2 显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数 显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数 思考1：从上面的两个例子中可以看出计算的规律是什么？ S1：用大数除以小数 S2：除数变成被除数，余数变成除数 S3：重复S1，直到余数为0 二、更相减损术 可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。 第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。 （1）、《九章算术》中的更相减损术： 1、背景介绍： （2）、现代数学中的更相减损术： 2、定义： 所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。 例: 用更相减损术求98与63的最大公约数. 解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减 98－63＝3563－35＝2835－28＝728－7＝21 21－7＝21 14－7＝7 所以，98和63的最大公约数等于7 3、方法： 1、用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数． 练习： 思路分析：先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数4。 2、求324、243、135这三个数的最大公约数。 思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。 比较辗转相除法与更相减损术的区别 （1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转