〔数理方程〕第4讲.ppt

《数理方程》第四讲 演讲者：昆明理工大学理学院 郑瑾环 《数理方程》第四讲 10.6 二阶常微分方程的固有值问题 10.6 二阶常微分方程的固有值问题 10.6 二阶常微分方程的固有值问题 10.6.1 S-L型方程 10.6.2 自然边界条件与周期性条件 10.6.2 自然边界条件和周期性条件 10.6.2自然边界条件与周期性条件 10.6.3 S-L型方程的固有值问题 10.6.3 S-L型方程的固有值问题 10.6.4 Sturm-Liouville理论 10.6.4 Sturm-Liouville理论 10.6.4 Sturm-Liouville理论 10.6.4 Sturm-Liouville理论 10.6.4 Sturm-Liouville理论 10.6.4 Sturm-Liouville理论 10.6.4 Sturm-Liouville理论 10.6.4 Sturm-Liouville理论 10.6.4 Sturm-Liouville理论 第十章习题课 第十章习题课 第十章习题课 第十章习题课 第十章习题课 第十章习题课 第十章习题课 第十章习题课 第十章习题课 第十章习题课 第十章习题课 第十章习题课 第十章习题课 第十章习题课 第十章习题课 第十章习题课 第十章习题课 第十章习题课 第十章习题课 第十章习题课 第十章习题课 第十章习题课 第十章习题课 第十章习题课 第十章习题课 第十章习题课 第十章习题课 第十章习题课 第十章习题课 第十章习题课 第十章习题课 所以，原混合问题的解是 其中 4 求解如下混合问题： 其中 L、G、R、C为常数，且LG=RC。(提示：作函数变换 ) 设 ，则有 ， [解] 记 ，混合问题微分方程两边同除LC，方程可化为 而且 所以 所以，若 是原定解问题的解函数，则是如下定解问题的解函数： 用分离变量法求解此混合问题，设方程的分离变量解形式的满足边界条件的非零解为 则 由齐次边界条件可得， 为如下边值问题的解函数： 8．求解混合问题 其中 为常数。 解：作函数变换 则 所以，是 原混合问题的解的充要条件是 是如下混合问题的解： 用分离变量法求解此定解问题。 由分离变量法的标准步骤可得： 代入初始条件可得： 所以 9. 求解 解：用分离变量法：设给定的定解问题中的微分方程有如下满足齐次边界条件的分离变量形式非零解： 则 * * 本讲将简单介绍由分离变量法导出的二阶常微分方程固有值问题，即Sturm-Liouville型方程固有值问题,并简单讲一讲第十章的习题。 分离变量法的一个重要特征： 有界区域上能用分离变量法求解的双曲型方程的一般形式： 其中， 用分离变量法，可求得关于X的方程： 消去 一项，方法：方程两同乘一个待定函数 : 令 关于X的微分方程可化为 这种形式的微分方程称为自共轭形式方程。 对于任意的二阶齐次线性常微分方程 等价于 如下形式的含有参数λ的二阶齐次线性常微分方程称为S-L(Sturm-Liouville)型方程： 其中的λ为参数， 为已知函数。 取不同的函数可得不同的方程：如 设 是如下方程的一个已知的特解： 设另一个与 线性无关的解为 令 对边界点x=b，可得同样结论。 为了排除无界解必须附加如下自然边界条件： 若 满足 ，一般需附加周期性条件： 含参数λ的S-L型方程与齐次边界条件构成固有值问题。 可附加的齐次边界条件有： 第一、二、三类边界条件 自然边界条件 周期性条件： 求解S-L型固有值问题就是求固有值及其相应的固有函数(非零解)。 Sturm-Liouville理论主要研究S-L型固有值问题的固有值存在性及相应的固有函数的性质 在S-L理论中，若对S-L方程 的系数提出如下要求： (1) (2) (3) S-L型固有值理论的四个基本定理： 定理1 存在可数个固有值 及其相应固有函数 定理2 所有的固有值 证明：设 对应的固有函数为 则 对于第一、二类边界条件和周期性条件以及自然边界条件，显然有 对于第三类边界条件： 所以，不论对于何种齐次边界条件，都有： 从而有 定理3 设 和 是两个不同的固有值( ),则它们相应的固有函数 和 在区间[a,b]上关于权函数 相互正交： 证明：因为 显然，对于第一、二类边界条件，周期性边界条件和自然边界条件，有 对于第三类边界条件： 也就是 所以，