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4-2　力矩　转动定律　转动惯量 第四章 刚体的转动 物理学 第五版 第四章 刚体的转动 物理学 第五版 P * O 对转轴 z 的力矩 一　力矩 用来描述力对刚体的转动作用． 大小： 方向：垂直于 、 所构成的平面，满足右手螺旋定则。 1 力在垂直于转轴的平面内 注意：M方向沿规定正方向时为正，反之为负。 O 2 若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量 其中 对转轴的力矩为零，故 对转轴的力矩 对于多个力作用于刚体上，其合力矩等于各分力矩的矢量和 注意： 1、与转轴垂直但通过轴的力对转动不产生力矩。 2、与转轴平行的力对转轴不产生力矩。 3、刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 4、对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的不同位置(或不同作用方向)，可以产生相同的效果。 O 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消． 例， 有一大型水坝高110 m、长1 000 m ,水深100m，水面与大坝表面垂直，如图所示. 求作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的轴的力矩 . Q y O x y O h x L 解 设水深h，坝长L，在坝面上取面积元 ，作用在此面积元上的力 y O h x y Q y O x L 令大气压为 ，则 代入数据，得 y O h x y L Q y O y h 对通过点Q的轴的力矩 代入数据，得： 二 转动定律 对质点应用牛顿第二定律： 自然坐标系中，上式切向分量式为： 法向力无力矩 左右两端同时乘以 外力矩 内力矩 内力矩相抵消 定义： 刚体的转动定律：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。 (转动惯量) 外力矩 内力矩 内力矩相抵消 ☆ 可以看出:力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。 地位相当，亦为一瞬时关系，m反映质点的平动惯性，J 反映刚体的转动惯性。 理解刚体定轴转动定律的注意点 ☆ 可以看出:当外力矩一定时，转动惯量越大，则角加速度越小，即转动惯量是刚体转动惯性大小的量度。 ☆将定轴转动定律 M = J?与牛顿第二定律 F = m a 进行比较： M F ~ J m ~ a ~ ? 三　转动惯量 J 的意义：描述刚体在转动中的惯性的物理量 . 转动惯量的单位：kg·m2 质量离散分布 J 的计算方法 质量连续分布 ：质量元 ：体积元 例题， 求质量为m、长为 l 的均匀细棒对下面 两种转轴的转动惯量： （1）转轴通过棒的中心并和棒垂直； （2）转轴通过棒的一端并和棒垂直； l/2 l/2 O x dx A l x dx A 解 如图所示，在棒上离轴x 处，取一长度元dx，如 棒的质量线密度为?，这长度元的质量为dm=?dx。 （1）当转轴通过中心 并和棒垂直时 因? l =m，代入得 l/2 l/2 O A （2）当转轴通过棒的 一端A并和棒垂直时 这个例题表明，同一刚体对不同位置的转轴，转动惯量并不相同。 l x A 例， 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转 动惯量。设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。 r R dr 解 设圆盘的质量面密度为?，在圆盘上取一半径为r、 宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2?rdr，环的 质量dm= ?2?rdr 。可得 四 平行轴定理 转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置 . 质量为 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为 ，则对任一与该轴平行，相距为 　的转轴的转动惯量 C O 注意 质量为m，长为L的细棒绕其一端的J P 圆盘对P 轴的转动惯量 O O1 d=L/2 O1’ O2 O2’ 竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？ 例2 质量为mA的物体A 静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为mB 的物体B上，B 竖直悬挂．滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计．(1)两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？(2) 物体 B 从静止落下距离 y 时，其速率是多