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数学概念 数学概念是反映现实世界空间形式和数量关系本质属性的思维形式。 数学概念的产生和发展有各种不同的途径。 有的数学概念是直接从它的现实模型中抽象概括得来的，例如几何中的点、线、面、体等概念； 有的是在已有数学概念的基础上，经过进一步多层次的抽象概括而形成的，如近代数学中的群、环、域等概念； 有的概念是人们将客观事物的属性理想化、纯粹化而得到的，如利用“直”可以“无限延伸”等特征来描述直线这个概念； 还有的概念是在一定的数学对象结构中产生的，如“三线八角”等数学概念，有的概念则是根据数学本身的发展需要而产生的，如负数、虚数、维空间等。 数学概念是用数学语言来表达的，其主要形式是语词和符号。例如，角∠、三角形△、平行∥、等于＝、阶乘！等。 概念是人类思维的基本结构单位。概念又是命题、推理和论证的基础，可以说每一门科学，都是一个概念的系统。 2、概念的内涵和外延 凡是一个概念都必须要有确定的涵义，并能反映确定的对象范围，这就是概念的内涵和外延。任何一个科学概念，都应该有这两个逻辑特征的结构。 概念的内涵也称内包，是指概念所反映的这类事物的共同本质，是对概念的质的规定； 概念的外延也称外包，是指概念所反映的这类事物的全体，是对概念的量的描述。 例如，在自然数系中，偶数这个概念的内涵是“能被整除”这个性质，它的外延是集合。 又如，平行四边形这一概念的内涵是其本质属性：对边平行、对边相等、对角相等、对角线互相平分等。它的外延是全体平行四边形的概念。 概念的内涵和外延之间还表现为发展中的反变关系：当增加一个概念的内涵时，就会得到使概念的外延缩小的一个新概念，即概念的限定： 当减少一个概念的内涵时，就会得到使这一概念外延扩大的新概念，即概念的还概括。 例如，矩形增加了“有一组邻边相等”这个性质后，就成为外延缩小的正方形的概念；在矩形内涵中减少“有一个角是直角”的属性，就又得到外延扩大的平行四边形的概念。 （1）同一关系：A=B,概念甲与概念乙的外延集完全相同，就称为两概念为同一关系（或全同关系），如图1。 （2）属种关系：概念乙的外延集是概念甲的外延集的真子集，就称两个概念为属种关系，如图2 （3）交叉关系：即两个概念的外延集相交但不重不含，则称这两概念为交叉关系，如图3。 例如：长方形和矩形、多项式和有理整式、大于和不小于等，都是具有同一关系的两个概念。数学中的恒等变形就是利用概念间的同一关系进行的。 又如：实数和有理数、根式和无根式、四变形和平行四边形、三角形和等腰三角形等，都是具有属种关系的概念。 再如，矩形和菱形、非负有理数和非正有理数等，就是具有交叉关系的概念. （1）矛盾关系： （2）反对关系： 相对于属概念实数而言，有理数和无理数就是具有矛盾关系的两个概念，而相对于属概念三角形而言，锐角三角形和钝角三角形又是具有反对关系的两个概念。 任何判断都应具有两个基本的特征： ①一定“要有所判定”，否则不称其为判断。 例如，“０不是自然数吗？”，“a比２大吗？”等都不是判断； ②判断有真假之分。如果一个判断符合客观实际，那么它是真实的，否则，就是虚假的。 例如，“１是质数”就是一个假判断。 数学判断的真与假，既要由实践检验，又要从理论上予以证明。 即数学判断的形式取逻辑真假，内容也符合实际，才是真实的数学判断。 判断可按不同的标准进行分类。 例如，按判断的组成形式，判断可以分为简单判断和复合判断； 对于简单判断，又可按其判断内容分为性质判断和关系判断； 按判断的性质来分，判断可以分为肯定判断和否定判断； 按判断的量来分，则又有全称判断和特称判断之分。 在数学中，常用的判断形式主要有四种： （１）全称肯定判断（Ａ），其逻辑形式是：“所有的Ｓ都是Ｐ”，简记为SAP； （２）全称否定判断（Ｅ），其逻辑形式是：“所有的Ｓ都不是Ｐ”，简记为SEP； （３）特称肯定判断（I），其逻辑形式是：“有些Ｓ是Ｐ”，简记为SIP； （4） 特称肯定判断（O），其逻辑形式是：“有些Ｓ不是Ｐ”，简记为SOP。 从以上四种命题判断的逻辑形式，可知每种性质判断的结构都由四部分组成； 量项（所有、有些）、主项（S）、联项（是、不是）和胃项（P），简记为 （判断）=（量项）+（主项）+（联项）+（胃项） 2、命题及其基本运算 任何一个判断，都是用语句表述的，表述判断的语句称为命题。 数学判断是关于数学对象及其属性的判断，每一数学判断的陈述语句则称为数学命题。 由于判断有真假之分，所以命题应具有可判性。 如“ ”和“ ”，由于含有变量，故无法判断其真假，这样的语句称为开句