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7.1＿线性变换的定义与性质
一、 线性变换的定义 * 一、线性变换的定义 二、线性变换的简单性质 §7.1 线性变换的定义 引入 在讨论线性空间的同构时，我们考虑的是一种 保持向量的加法和数量乘法的一一对应. 我们常称 线性变换. 映射. 本节要讨论的是在线性空间V上的线性映射 两线性空间之间保持加法和数量乘法的映射为线性 设V为数域P上的线性空间， 满足： 则称 为线性空间V上的线性变换. 若变换 注：几个特殊线性变换 由数k决定的数乘变换： 事实上， 单位变换(恒等变换)： 零变换： 例1. (实数域上二维向量空间)，把V中每 一向量绕坐标原点旋转 角， 表示，即 用 这里， 易验证： 就是一个线性变换， 例2． 上的求微商 用D表示，即 例3. 闭区间 上的全体连续函数构成的线性空间 是一个线性变换. 上的变换 是一个 线性变换， 例4． 为一固定非零向量， 一个向量 变成它在 上的内射影是V上的一个线 性变换. 用 表示，即 这里 表示内积. 易验证： 把V中每 1． 为V的线性变换，则 2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即 若 则 3．线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关 二、 线性变换的简单性质 的向量组. 即 若 线性相关， 也线性相关. 事实上，若有不全为零的数 使 则由2即有， 线性相关的向量组. 如零变换. 事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成 注意：3的逆不成立， 线性相关， 即 未必线性相关. 则
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