6＿2多元函数的基本概念.ppt

例7 讨论函数 在(0,0)的连续性． 解 取 其值随k的不同而变化， 极限不存在． 故函数在(0,0)处不连续． 点(0,0)为间断点． 多元基本初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域． 由多元函数极限的四则运算可得多元函数的四则运算连续性及复合函数的连续性. 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数. 把这些函数看作多元函数，叫做多元基本初等函数. 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子表示的函数。 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域． 补例 求 补例 求 解 闭区域上连续函数的性质 （1）有界性定理 在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上必有界． 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次． 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次． （2）最大值和最小值定理 （3）介值定理 多元函数极限的概念 多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质 （注意趋近方式的任意性） 五、小结 多元函数的定义 作业P174 * 1.（2）（4） 2.（1） 4.（2）（4） 思考题 思考题解答 不能. 例 取 但是 不存在. 原因为若取 练 习 题 练习题答案 * 第一节 多元函数的基本概念 一、 Rn 空间的有关概念 二、二元函数的概念 三、二元函数的极限 四、二元函数的连续性 第六章 一、 Rn 空间的有关概念 1、n维空间 — Rn 说明： 1) n维空间中的线性运算 即为 x 与 y 的线性运算 . 2) n维空间中两点间距离公式 当 n=1 , 2 , 3 时， 为数轴、平面、空间两点间的距离． 设两点为 3) x ? a 记为 x ? a . x ? a 的充要条件是 xi? ai ( i=1,2,…,n) . 1) 邻域 点的去心 邻域，记为 2、R2的有关概念 2) 内点、边界点和聚点 (1) 内点一定是聚点； 说明： (2) 边界点可能是聚点； 例 (0,0)既是边界点也是聚点． 点集E的聚点可以属于E， 也可以不属于E． 例如, (0,0) 是聚点但不属于集合． 例如, 边界上的点都是聚点也都属于集合． 3) 开集与闭集 例如： 即为开集． 例如： 即为闭集． 既非开集也非闭集． 是有界点集； 是无界点集． 例如： 4) 有界集与无界集 5) 区域、闭区域 连通的开集称为区域或开区域． 例如， 连通的开集称为区域或开区域． 例如， 例如， 有界闭区域； 无界开区域． 例如： 3、 n维空间Rn中邻域、区域等概念 内点、边界点、区域、聚点等概念也可类似定义． 邻域： 4、 直线与线段 二、二元函数的概念 1.二元函数的定义 二元函数由对应法则 f 和定义域 D 两要素确定。 规定 二元函数的自然定义域是使算式所表达的函数有意义的x,y所对应的点P(x,y)的全体. 类似地可定义三元及三元以上函数． 多元函数中也有定义域、值域、自变量、因变量等概念. 例3 求 的定义域． 例4 求 的定义域． 练习 求 的定义域． 练习 求 的定义域． 解 所求定义域为 补例 求下列函数的定义域． 解 所求定义域为： 1.多元函数也有单值性与多值性的概念. 例如： 单值分支 2.一元函数的单调性、奇偶性、周期性等性质的定义在多元函数中不再适用，但有界性的定义仍适用：设有n元函数y=f(x)，其定义域为D?Rn，集合X?D.若存在正数M，使对?x?X，有|f(x)|?M，则称f(x)在X上有界，M称为f(x)在X上的一个界. 关于多元函数的几点说明 二元函数 的图形 空间点集 这个点集称为二元函数的图形.