〔计算物理〔研究生用)〕[第3篇].ppt

第三篇 蒙特卡罗方法 §3.1 蒙特卡罗方法概述 蒙特卡罗(Monte Carlo)方法：利用随机数统计地去计算和模拟给定的问题。 说明： 1、也称统计模拟法、随机抽样法或统计试验法。 2、Monte Carlo方法的命名：世界上著名的赌城摩洛哥的Monte Carlo。 3、方法：先构造一个与物理问题等价的随机过程，当完成大量的随机试验后，结果由多次事件的平均值给出。 4、随机数的抽样：现在都用计算机程序产生，一般不用物理方法抽样。计算机产生的是伪随机数。 5、求解确定性物理问题：如微分方程、定积分、线性方程等。同其它数值计算方法相比是速度慢。 6、求解复杂物理问题：如果物理学问题的严格算法不知道，或非常复杂，则蒙特卡罗方法有意想不到的成功。特别在分子运动学、输运现象、布朗运动、放射性衰变等问题中，由于本身有一定的统计规律性，这种方法很奏效。 7、计算机模拟：蒙特卡罗方法广泛应用于“计算机模拟”，在计算机上模拟真实过程。 §3.2 蒙特卡罗方法的原理 用蒙特卡罗方法寻找某个未知量x时，利用计算机产生的随机变量ξ，得到的期望值E(ξ) x= E(ξ) 3.1 为了估算ξ的平均值，构造随机变量ξ的若干独立的实验数序列{ξi|i=1，2，3，……n}，得 §3.3 伪（赝）随机数的产生 随机数产生：有两种，一是物理方法，二是数学方法。 物理方法：产生的随机数仅遵循统计规律，无任何其它规律。如骰子、抽奖机等。理论上Monte Carlo方法可以利用物理方法产生随机数来研究。但实际应用不可行，运算量太大，速度上不去。 数学方法：产生的随机数是利用计算机程序运算得到，称它为伪（赝）随机数。它虽然不是真正的物理随机数，但它能通过一系列的统计检验，可以放心使用。 （1）伪随机数的“伪”性：伪随机数有一定周期性，只不过周期很长。若在一次数值模拟中所用的随机数都在一个周期内，模拟效果与真正的随机数是一致的。 （2）统计检验：在使用前，应对伪随机数进行统计检验，以确定其统计性能的优劣。主要是均匀性和独立性。 （3）程序函数：多数程序设计语言都有此函数。如C、Matlab等用rand()函数来实现，此函数产生的是均匀分布的随机数。 其中a，c，N为给定的三个整数， (c* Xn-1 )(mod N )是指c* Xn-1被N整除后取余数。 上述关系可推出一组X1、 X2 、 X3 ……伪随机数。 a，c，N选择适当，这一序列伪随机数具有足够长的周期性。 § 3.4 伪（赝）随机变量的抽样 实际上，大多数伪随机变量不满足[0，1]均匀分布，而是具有符合分布密度函数为f(x)的分布。 抽取符合f(x) 随机数的步骤如下： 一、离散型分布随机变量的直接抽样法 例1.γ光子与物质相互作用的抽样问题。 物理过程：γ光子与物质作用有康普顿效应、光电效应和电子对效应三种类型 。其中光电效应和电子对效应为光子吸收过程。 设三种过程的碰撞截面分别σs 、σe和σp，则总截面σT = σs +σe+σp 。 根据给定的[0，1]之间均匀分布的随机数γ ，求应产生那种效应？ 二、连续型分布随机变量的直接抽样法 一个γ对应一个ξ。如果积分式能求出解析形式的反函数，则得到变换公式 ξF=F-1(γ) 连续型分布的困难性：在实际问题中，连续型分布是很复杂的，有的只能给出分布函数F解析表达式，但给不出其反函数F-1(γ) ，如β分布。有的则连分布函数都给不出解析式，如正态分布。由于这一情况，对于连续型分布采用求反函数的方法就及其困难，这必须寻找其它方法。 例1.均匀分布：在区间（a，b）内找出符合均匀分布的随机变量 。 例2．指数分布：指数分布的一般形式为 f(x)=λe-λx x ≥0其中λ0 ，求符合此分布的随机变量ξ 三、连续型分布随机变量的变换抽样法 四、连续型分布的乘分布舍选抽样法(第二类) 乘分布舍选抽样法的基本思想：若ξ随机变量满足密度函数f(x)，直接抽样不方便或不可求出时，可设法把f(x)写成 f(x)=H(x) f1(x) § 3.5 Monte Carlo方法求圆周率π 求π的物理模型如图所示，边长为1的正方形内切一个圆。于是正方形和圆的面积分别为 S正=1，S圆= π /4 §3.6蒙特卡罗方法求解确定性问题(定积分) 物理问题是以数学物理的经典方程表示出来的，如玻尔兹曼方程、拉普拉斯方程、麦克斯韦方程等。