七–3第3节向量的坐标.ppt

* 一、向量在轴上的投影与投影定理 第三节 向量的坐标 证 例 1 在 u 轴上取定一点 o 作为坐标原点．设 B A , , 是 u 轴上坐标依次为 1 u , 2 u 的两个点， e r 是与 u 轴 同方向的单位向量，证明 e u u AB r ) ( 1 2 - = . 只须证明两个向量的模相等且方向相同。 空间两向量的夹角的概念： 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值. 空间一点在轴上的投影 空间一向量在轴上的投影 关于向量的投影定理（1） 证 定理1的说明： 投影为正； 投影为负； 投影为零； (4) 相等向量在同一轴上投影相等； 关于向量的投影定理（2） （可推广到有限多个） 二、向量在坐标轴上的分向量与向量 的坐标 由例1知 P P 2 1 向量在 轴上的投影 向量在 轴上的投影 向量在 轴上的投影 按基本单位向量的坐标分解式： 在三个坐标轴上的分向量： 向量的坐标： 向量的坐标表达式： 特殊地： 向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式 解 设 为直线上的点， 由题意知： 非零向量 的方向角： 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. 三、向量的模与方向余弦的坐标表示式 由图分析可知 向量的方向余弦 方向余弦通常用来表示向量的方向. 向量模长的坐标表示式 * 向量与向量的夹角 过点作轴的垂直平面，交点即为点在轴上的投影. 已知向量的起点和终点在轴上的投影分别为那 么轴上的有向线段的值，称为向量在轴上的投影. 向量在轴上的投影记为 向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦： 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和. 如果是与轴正向一致的单位向量， 设是以为起点、 为终点的向量， 过各作垂直于三个坐标轴的平面 , 这六个平面围成一个以线段为对角线的长方体. 例2 设和为两已知点，而在直线上的点分有向线段为两部分、，使它们的值的比等于某数，即，求分点的坐标. 为有向线段的定比分点. 为中点时， 、、 例3 求平行于向量的单位向量的分解式. 设的坐标为, 的坐标为