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五. 分子速率的三种统计平均值 1. 平均速率 式中M 为气体的摩尔质量，R 为摩尔气体常量 思考： 是否表示在v1 ~v2 区间内的平均速率 ？ 3. 最概然速率 2. 方均根速率 T (1) 一般三种速率用途各 不相同 讨论分子的碰撞次数用 说明 讨论分子的平均平动动 能用 讨论速率分布一般用 f(v) v O (2) 同一种气体分子的三种速率的大小关系: · · · 氦气的速率分布曲线如图所示. 解 例 求 (2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率 O (1) 试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况， (2) 有N 个粒子，其速率分布函数为 (1) 作速率分布曲线并求常数 a (2) 速率大于v0 和速率小于v0 的粒子数 解 例 求 (1) 由归一化条件得 O (2) 因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分 与总分子数的比率，所以 因此，vv0 的分子数为 ( 2N/3 ) 同理 vv0 的分子数为 ( N/3 ) 的分子数与总分子数的比率为 根据麦克斯韦速率分布律，试求速率倒数的平均值 。 根据平均值的定义，速率倒数的平均值为 解 例 根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最概然速率 vp~vp+Δv 区间内的分子数与温度 成反比( 设Δv 很小) 将最概然速率代入麦克斯韦速率分布定律中，有 例 证 金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动，与容器中的气体分子很类似。设金属中共有N 个电子，其中电子的最大速率为vm，设电子速率在v~v+dv 之间的几率为 式中A 为常数 解 例 求 该电子气的平均速率 因为仅在（0 ，vm）区间分布有电子，所以 五. 气体分子按平动动能的分布规律 麦克斯韦速率分布定律 上式表明理想气体在平衡态下，分子动能在 ? ~? +?? 区间内的分子数与总分子数的比率。 意义： 代入上式得 思考 最概然平动动能是否等于最概然速率所对应的平动动能? 两边微分 §5 玻耳兹曼分布律 一. 重力场中粒子按高度的分布 麦克斯韦速率分布律是关于无外力场时，气体分子 的速率分布。此时，分子在空间的分布是均匀的。 若有外力场存在，分子按密度如何分布呢？ 问题： (非均匀的稳定分布) 平衡态下气体的温度处处 相同，气体的压强为 h h+dh h O n 在重力场中，粒子数密度随高度增大而减小，? 越大，n 减小越迅速；T 越高，n 减小越缓慢。 (等温气压公式) 式中 p0 是高度为零处的压强 实验测得常温下距海平面不太高处，每升高10 m，大气压 约降低133.3 Pa。试用恒温气压公式验证此结果（海平面 上大气压按1.013×105 Pa 计，温度取273K）。 解 例 等温气压公式 将上式两边微分，有 第五章 气体动理论 扫描隧道显微镜（STM） §1 气体动理论的基本概念 一、分子运动的基本观点 1. 宏观物体由大量粒子（分子、原子等）组成，分子之间存在 一定的空隙 2. 分子在永不停息地作无序热运动 (1) 气体、液体、固体的扩散 水和墨水的混合 相互压紧的金属板 例如： (1) 1cm3的空气中包含有2.7×1019 个分子 (2) 水和酒精的混合 例如： (2) 布朗运动 A B C 3. 分子间存在相互作用力 假定分子间的相互作用力有球对称性时，分子间的相互作 用(分子力)可近似地表示为 ( 布朗运动 ) 、 式中r 表示两个分子中心的距离， ? 、 ? 、 s 、 t 都是正数，其值由实验确定。 斥力 引力 (分子力与分子间距离的关系) 分子力表现为斥力 分子力表现为引力 由分子力与分子距离的关系，有 ( 平衡位置 ) 一切宏观物体都是由大量分子组成的，分子都在永不停息地作无序热运动，分子之间有相互作用的分子力。 结论 二、气体分子运动的规律 1. 气体分子热运动可以看作是在惯性支配下的自由运动 (1) 由于气体分子间距离很大，而分子力的作用范围又很小， 除分子与分子、分子与器壁相互碰撞的瞬间外，气体分 子间相互作用的分子力是极其微小的。 (2) 由于气体分子质量一般很小，因此重力对其作用一般可 以忽略。 2. 气体分子间的相互碰撞是非常频繁的 一秒内一个分子和其它分子大约要碰撞几十亿次(109次/秒) 3. 气体分子热运动服从统计规律 统计的方法 物理量M 的统计平均值 状态A出现的概率 归一化条件 · Ni 是M 的测量值为 Mi 的次数，实验总次数为N 例如平衡态下气体分子速度分量的统计平均值为 气体处于平衡状态时，气体分子沿各