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动态规划的优化方法 YALI 朱全民 动态规划优化的内涵 动态规划算法的时间复杂度= 阶段数*每个阶段状态转移的状态数 *每次状态转移的时间 或者:状态总数*每次状态转移的时间 重点:减少每个阶段的状态数，也就是减少了状态总数 优化方法1：改进状态的表示 例1：理想收入问题 理想收入是指在股票交易中，以1元为本金可能获得的最高收入，并且在理想收入中允许有非整数股票买卖。 已知股票在第i天每股价格是V[i]元，1≤i≤M，求M天后的理想收入。 方法一 设F[i]表示在第i天收盘时能达到的最高收入，则有F[i]的递推关系式： 方法二 设P[i]表示前i天能获得的最多股票数，则可列出状态转移方程： 设Q[i]表示前i天能达到的最大收入，则可列出状态转移方程： 方法三 分析：上述公式的含义是当0=ji 时,求Q[i-1]和Q[j]*v[i]/v[j]的最大值 对于0=ji，要求Q[i],实际上Q[1]…Q[i-1]都已经求出，因此我们只要搞一个变量保存Q[j]/V[j] 的最大值即可，记为MaxQ. 这样，公式可以写成 优化方法2：利用决策的单调性 例3：最长上升序列问题 f(i)=max{f(j)+1} (1=ji=n, bjbi) 上式含义为：对于所有的1=ji，bjbi,必须找一个最大的f(j) 反过来说，对于1=ji，必须找到一个最大的f(j),满足bjbi。 分析 对方程进行一下改进：对于 ji, f[i] = max{f(j)+1}, 其中，min{j | r [j]a[i]} r[j]为所有等于f[j]时a[j]的最小值。 因此，我们可以搞一个队列维护f(j)的上升序列。 对于当前的i，利用二分查找在队列查找到满足条件bjbi的f(j) 用bi去替换与f(i)相等的bj 若bj=bi,则舍弃bi 若bjbi，则用bi替换bj 若在对尾，则直接插入 显然该算法的时间复杂度为O(n*log(n)) 方法3：根据最优解的性质减少决策 例5：石子合并问题 猜想 合并第i堆到第j堆石子的最优断开位置s[i,j]要么等于i，要么等于j-1，也就是说最优合并方案只可能是： { (i) (i+1… j) } 或 { (i… j-1) (j) } 证明： 设合并第i堆到第j堆石子的最优断开位置 s[i,j]=p，且ipj-1。 情况1：t[i, p]≤t[p+1,j] 由于ip，所以可以设q=s[i,p]。于是最优合并方案为： { [ (i…q) (q+1...p) ] (p+1…j) } ，它的得分， F1=m[i, q]+m[q+1,p]+m[p+1,j]+t[i, j]+t[i, p] 我们可以构造如下的合并方案： { (i…q) [ (q+1...p) (p+1…j) ] }，它的得分， F2 = m[i, q]+m[q+1,p]+m[p+1,j]+t[i, j]+t[q+1,j] 由于qp，所以t[i, p]≤t[p+1,j]t[q+1,j]，所以F1F2。 这与合并第i堆到第j堆石子的最优断开位置 s[i, j]=p矛盾 情况2：t[i, p]t[p+1,j] 与情况1是对称的。 方法4:利用贪心思想减少状态总数 例6：快餐问题 Peter最近在R市开了一家快餐店，为了招揽顾客，该快餐店准备推出一种套餐，该套餐由A个汉堡，B个薯条和C个饮料组成。价格便宜。为了提高产量，Peter从著名的麦当劳公司引进了N条生产线。所有的生产线都可以生产汉堡，薯条和饮料，由于每条生产线每天所能提供的生产时间是有限的、不同的，而汉堡，薯条和饮料的单位生产时间又不同。这使得Peter很为难，不知道如何安排生产才能使一天中生产的套餐产量最大。请你编一程序，计算一天中套餐的最大生产量。为简单起见，假设汉堡、薯条和饮料的日产量不超过100个。 输入:第一行为三个不超过100的正整数A、B、C中间以一个空格分开。第二行为3个不超过100的正整数p1,p2,p3分别为汉堡，薯条和饮料的单位生产耗时。中间以一个空格分开。第三行为N(0=0=10)，第四行为N个不超过10000的正整数，分别为各条生产流水线每天提供的生产时间，中间以一个空格分开。 输出:每天套餐的最大产量。 分析 设p[i,j,k]表示前i条生产线生产j个汉堡，k个薯条的情况下最多可生产饮料的个数。 用r[i,j,k]表示第i条生产线生产j个汉堡，k个薯条的情况下最多可生产饮料的个数。 状态转移方程如下： p[i,j,k] = Max{p[i-1,j1,k1]+r[i,j-j1,k-k1]} 约束条件： ( 0=