〔高等代数〕行列式.ppt

3.1 线性方程组和行列式 3.1.1 二阶、三阶行列式的计算(对角线法则) 3.1.2 行列式在线性方程组中的应用 3.2 排列 3.2.1 排列、反序与对换 3.2.2 奇、偶排列的定义及性质 3.3 n阶行列式 3.3.1 n阶行列式的定义 转置 3.3.2 行列式的性质 3.4.1．余子式与代数余子式 3.4.2行列式的依行依列展开 3.5 克拉默法则 3.5.1.齐次与非齐次线性方程组的概念 3.5.2．克莱姆法则 3.5.3．齐次线性方程组解的定理 一、内容分布 3.5.1齐次与非齐次线性方程组的概念 3.5.2克莱姆法则 3.5.3齐次线性方程组解的定理 二、教学目的： 1.掌握和理解齐次与非齐次线性方程组的概念。　 2.熟练掌握克莱姆法则。 3熟练掌握齐次线性方程组解的定理 三、重点难点： 利用克莱姆法则求线性方程组的解及证明一些相关问题。 含有n 个方程的n 元线性方程组的一般形式为 （1.9） 它的系数 构成的行列式 （1.10） 称为方程组（1.9）的系数行列式。 如果线性方程组（1.9）的常数项为零，即 称为齐次线性方程组。 定理3.5.1 (克莱姆法则) 线性方程组(1.9)当其系数行列式 时,有且仅有唯一解 此处 是将系数行列式中第j列的元素对应地换为方程组的常数项 后得到的n 阶行列式. 证 时是显然的.设 .令是整数1，2，…，中的任意一个.分别以 乘方程组（1）的第一，第二，…，第个 方程，然后相加，得 证 D的每一项可以写成 式，它的符号是 的形 。去掉括弧，得 但一切项 附以原有符号后的和等于 行列式 一切项 附以原有符号后的和等于行 列式 因此 推论 如果将行列式的某一行（列）的每个元素都写成m 个数（m 为大于2的整数）的和，则此行列式可以写成m 个行列式的和。 命题3.3.10 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数k 后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。 证 设给定行列式 把D的第j行的元素乘以同一个数k后,加到第i行的对应元素上,我们得到行列式: 的第i行与第j列成比例； 由命题3.3.9， 此处 所以 由推论3.3.8， 例2 计算行列式 解： 根据例题3.3.10,从D的第二列和第三列的元素减去第一列的对应元素(即把D的第一列的元素同乘以－１后,加到第二列和第三列的对应元素上),得 这个行列式有两列成比例,所以根据推论3.3.8,D=0. 例3 计算n阶行列式 解: 我们看到,D的每一列的元素的和都是n－１．把第二，第三，…，第n行都加到第一行上，得 根据推论３.３.６,提出第一行的公因子n－１,得 由第二,第三,…,第n行减去第一行,得 由行列式定义,易见后一行列式等于对角线上元素的乘积 所以 练习选讲： 3.4 子式和代数余子式 行列式依行(列)展开 一、内容分布 3.4.1子式和代数余子式 3.4.2行列式的依行依列展开定理 3.4.3拉普拉斯定理 二、教学目的： 1.掌握和理解子式和代数余子式的定义 2.熟练掌握利用行列式的依行依列展开定理计算及证明行列式的技巧。 三、重点难点： 利用行列式的依行依列展开定理熟练计算及证明行列式 定义1 在一个n阶行列式D中任意取定k行和k列. 位于这些行列相交处的元素所构成的k阶行列式叫做行列式D的一个k阶子式. 例1 在四阶行列式 中,取定第二行和第三行,第一列和第四列.那么位于这些行列的相交处的元素就构成D的一个二阶子式 定义2 n (n1)阶行列式 的某一元素 的余子式 指的是在D中划去 所在行和列后所余下的n－1阶子式. 例2 例1的四阶行列式的元素 的余子式是 定义3 n阶行列式D的元素 的余子式 附以符号 后,叫做元素 的代数余子式. 元素 的代数余子式用符号 来表示: 例3 例1中的四阶行列式D的元素 的代数余子式 定理3.4.1 若在一个n阶行列式 中,第i行(或第j列)的元素除 外都是零,那么这个行列式等于 与它的代数余子式 的乘积: 证 我们只对行来证明这个定理 1) 先假定D和第一行的元素除 外都是0，这时 我们要证明： 也就是说： 子式 的每一项都可以写作 （1） 此处