概率论︰条件分布.ppt

第三节 条件分布 三、小结 * * 一、离散型随机变量的条件分布 二、连续型随机变量的条件分布 三、小结 在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 . 在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率 推广到随机变量 设有两个r.v X,Y ， 在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布. 这个分布就是条件分布. 例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以X和Y 表示其体重和身高 . 则X和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布. 体重X 身高Y 体重X 的分布 身高Y 的分布 现在若限制 1.7Y1.8(米), 在这个条件下去求 X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布. 容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布会很不一样. 例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著增加 . 一、离散型随机变量的条件分布 实际上是第一章讲过的条件概率概念在另一种形式下的重复. 定义1 设 ( X,Y ) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j，若 P{Y = yj } 0，则称 为在 Y = yj条件下随机变量X的条件分布律. P{X= xi |Y= yj }= ，i=1,2, … 作为条件的那个r.v,认为取值是给定的， 在此条件下求另一r.v的概率分布. 为在 条件下Y的条件分布律。 对于固定的i，当 时，称 条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质. 正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质. 例如： i=1,2, … 例1 设r.v.X与Y的联合分布律为 求在Y=1条件下X的条件分布律. 〖解〗先求边缘分布律,见上表“边缘”. 再求条件分布律： 显然，条件分布律也满足分布律的性质。 例2 一射手进行射击,击中目标的概率为p(0p1), 射击到击中目标两次为止.设以X 表示首次击中目 标所进行的射击次数, 以Y 表示总共进行的的射击 次数.试求 X 和 Y 的联合分布律及条件分布律. 解 现在求条件分布律． 由于 P80，三，2 二、连续型随机变量的条件分布 设(X,Y)是二维连续型r.v，由于对任意x, y, P{X=x}=0, P{Y=y}=0 ，所以不能直接用条件概率公式得到条件分布，为此我们直接给出条件分布的定义。 设 的概率密度为 考虑在 已发生的条件下 发生的条件概率 在区域 上具有密度 当 限制在直线上时可视为一维 r.v 定义：设对于任意小的Δx0，有 P{x X x + Δx}0 若 存在, 则称此极限为X=x的条件下Y的条件分布函数。 且有 P{Y≤y |X=x} 或 FY |X(y|x) 记作 对y求导，得到在条件X=x下Y的条件概率密度 类似地，在条件Y=y下，X的条件分布函数及条件概率密度为 解 例3 r ? ? x -r = 边缘分布不是均匀分布！ ? ? y -r r 当 – r y r 时， ? ? y — 这里 y 是常数，当Y = y 时， 当 – r x r 时， — 这里 x 是常数，当X = x 时， ? ? x 解 例4