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7.5 数值微分-new.pdf
第七章 微积分的数值计算方法
§
7.5 数值微分
数 值 微 分
数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在
某点的导数值.
差商型求导与误差分析
按导数定义可以简单地用差商近似导数，这样立即得
到几种数值微分公式
f (a h ) f (a ) + −
f a( ′) ≈ ,
h
f a f a h − −
( ) ′ ( )
f a
( ) ≈ ,
h
f (a h ) ′f (a h ) + − −
f a( ) ≈ ，
2h
其中 h 为一增量，称为步长.
差商型求导公式的余项
由 T a ylo r公 式
f( x + h ) - f( x ) f ( x + θ h )
f ( x ) - = - 1 h = O ( h )
h 2
f( x ) - f( x - h ) f ( x - θ h )
f ( x ) - = 2 h = O ( h )
h 2
f( x + h ) - f( x - h )
f ( x ) -
2 h
f ( 3 ) ( x + θ h ) + f ( 3 ) ( x - θ h ) 2 2
= - 1 2 h = O ( h )
6
0 θ , θ 1
1 2
从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确；
从舍入误差的角度来看，步长不宜太小。
较为常用的是中点公式.
( ) ( ) −
f a h f a h + −
( )
G h
2 h
截断误差
h 2
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