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第二篇 数学物理方程 Mathematical Equations for Physics 想要探索自然界的奥秘就得解微分方程 —— 牛顿 第七章 数学物理方程的定解问题 重点 1、从实际问题中建立数学物理方程的基本方法； 2、系统的边界条件和初始条件的写法； 3、行波法研究一维波动方程的解、及解的物理意义。 1 数学物理方程，通常指从物理学及其他各门自然科 学、技术科学中所产生的偏微分方程(涉及到多个变 量)，有时也包括与此有关的积分方程。 •静电势和引力势满足的Laplace方程或Poisson方程 •波的传播所满足的波动方程 •热传导问题和扩散问题中的热传导方程 一、数学物理方程泛定方程:物理规律的数学表示 数学语言翻译 物理规律 物理量u 在空间和时间中的变 化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值 之间的联系。 2 物理规律的直接表现：u在邻近地点和邻近时刻所 取的值之间的关系式。这种邻近地点、邻近时刻之 间的关系往往是偏微分方程。泛定方程反映的是同 一类物理现象的共性，和具体条件无关。 二、边界问题边界条件 体现边界状态的数学方程称为边界条件 三、历史问题初始条件 体现历史状态的数学方程称为初始条件 例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件 → 不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。 3 定解问题的完整提法： 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在 给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y ,z,t) 。 定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的 特殊性，即个性。 泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。 它反映了问题的共性。 具体的问题的求解的一般过程： 1、根据系统的内在规律列出泛定方程——客观规律 2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和 初始条件——求解所必须用的 4 3、求解方法 —— 行波法、分离变量法、等 7.1 数学物理方程的导出 导出步骤： 1、确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分，分析邻 近部分与它的相互作用。 2、根据物理规律，以算式表达这个作用。 3、化简、整理。 波动方程的导出 5 （一）均匀弦的微小横振动 设：均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附 近产生振幅极小的横振动 u(x,t): 坐标为x 的点在t时刻沿垂线方向的位移 求：细弦上各点的振动规律 弦的横振动 u( x, t ) u x 6 选取不包括端点的一小段(x, x+dx) 研究对象： 简化假设： (1)弦是柔软的 (不抵抗弯曲),张力沿弦的切线方向