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8-4_全微分方程和积分因子.pdf
E-mail: xuxin@ahu.edu.cn
一、全微分方程及其求法
1.定义: 若有全微分形式 全微分方程
或恰当方程
( , ) ( , ) ( du, )x y P x y dx +Q x y dy
则 P (x, y )dx +Q (x, y )dy 0
例如 xdx +y dy 0, ( , ) 2 1 2
u x y x ∵y ( + ),
2
du(∴x, ) y xdx +y dy , 所以是全微分方程.
∂P ∂Q
全微分方程⇔ .
∂ ∂
y x
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2.解法:
( , ) ( , ) P 0x y dx +Q x y dy 全微分方程
∂P ∂Q
应用曲线积分与路径无关. ∵
∂y ∂x
x y
通解为 u(x, y) P(x, y )dx =+ Q(x , y)dy
∫x0 0 ∫y0 0
y x
Q(x , y)dy =+ P( x, y )dx,
∫y 0 0 ∫x 0 0
用直接凑全微分的方法.
u(x, y) C ;
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2
x 1
求方程xydx + + d
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