高数同济版大一下学期期末复习.ppt

问题2：在条件 下，求函数 的最大最小值。 问题1：在约束条件 下，求距离 d 的最大最小值。 （1）作拉格朗日函数 （2）联解方程组 （1）作拉格朗日函数 （2）联解方程组 求得两个驻点： 对应的距离为 例1：在椭球面 上，求距离平面 的最近点和最远点。 解： 问题1：在约束条件 下，求距离 d 的最大最小值。 求得两个驻点： 对应的距离为 （3）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距 离和最远距离均存在。所以 最近距离为 最远距离为 三、二重积分的计算（直角坐标、极坐标） 重点内容 （1）二重积分在直角坐标下的计算； 答案： 例1：计算二重积分 答案： 三、二重积分的计算（直角坐标、极坐标） 重点内容 （2）二重积分中二次积分的交换次序； 答案: 例2：试证： 解 积分区域分为两块 例2：试证： 证明：画出积分区域 D 由图可知 D 又可以写成 X 型区域 （3）利用极坐标计算二重积分； 再根据 D 的极坐标表示，将极坐标下的二重积分 化为累次积分。 例3:计算 由直线 y = x 及曲线 所围平面区域。 （4）利用对称性和被积函数的奇偶性计算二重积分； 在二重积分的计算过程中，要注意对称性。 例5：计算 其中 D 由直线 y = x , y = ?1 , 及x = 1 所围平面区域 解 （5）三重积分在直角坐标系中“先二后一”的计算方法； 例6： 提示： 再对 用“ 先二后一 ” 的方法计算， 并用对称性给出另外两项的结果。 例7： 提示：利用对称性、被积函数奇偶性及 “先二后一” 法 （6）利用柱面坐标计算三重积分 例8： 绕 z 轴旋转一周而成曲面与平面 z = 8 所围空间立体 四、第一、二类曲线积分，积分与路径无关、 第一、二类曲面积分、格林公式、高斯公式。 （1）曲线和曲面积分的基本概念和基本计算方法； （2）基本公式 格林公式 高斯公式 主要作用：将平面曲线积分转化为二重积分 主要作用：将曲面积分转化为三重积分 （3）基本应用： 格林公式和高斯公式的两类典型应用题： 2. 平面曲线积分 “ 封口法 ” 和 “ 挖洞法 ”。 与路径无关 在单连通区域 G 内 （4）基本计算技巧 1. 利用对称性； 2. 利用曲线或曲面方程化简被积函数； 3. 利用关系式 将对不同的坐标的曲面积分化为同一个曲面积分； 4. 利用积分与路径无关，适当改变积分路径，简 化平面曲线积分。 例1：设椭球面 的表面积为a，则 20a 提示：利用曲面方程及对称性 例2：设 则 提示：利用曲线方 程及对称性 0 例3： 提示：利用高斯公式及 椭球体的体积。 例4：设 f (x) 在 ( 0 , + ? ) 上有连续的导数，L 是由点 提示：利用积分与路径无关，并取新路径： A ( 1 , 2 ) 到点 B ( 2 , 8 ) 的直线段，计算 （30） 例5：计算 ? 由抛物面 与圆柱面 及坐标面在第一卦限中所围曲面外侧。 提示：利用高斯公式及（三重积分）柱面坐标 * 期末考试复习重点 （1）直线与平面的位置关系,空间曲线的切线，空间曲面的 切平面 （2）函数的定义域、极限和连续（连续的定义）、方向导数、 复合函数求导（高阶）、隐函数的求导与全微分、条件极值 （3）二重积分的计算（直角坐标与极坐标） （4）第一、二类曲线积分，积分与路径无关 第一、二类曲面积分格林公式、高斯公式。 （5）数项级数收敛性判别，绝对收敛与条件收敛 幂级数的收敛域、求级数求和函数。 （一）直线与平面的位置关系，空间曲线的切线， 空间曲面的切平面 （1）设 则 （2）曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线 要点：I：曲面在某点处的切平面 （1）设曲面方程为 第一步：计算 第二步：计算曲面的法向量 第三步：分别写出切平面和法线的方程 （2）设曲面方程为 第一步：取 第二步：计算曲面的法向量 第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法 线的方程 要点II：空间曲线的切线与法平面 （1）设空间曲线 ? 的方程 第一步：确定点 第二步：计算 第三步：利用对称式和点法式分别写出切线和法 平面的方程 （2）设空间曲线 ? 的方程 解 设所求直线的方向向量为 根据题意知 取 所求直线的方程 3、典型例题 例2：设直线 L 和平面 ? 的方程分别为 则必有（ ） 解： C 例3：求曲面 上同时垂直于平面 与平面 解：取 的切平面方程。 设切点为 例:(1)已知曲线 在点P处的切线平行于 平面 ，求P点的坐标 （二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数 ，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、 条件极值 （1）多元函数在某点的定义域、极限和连续 要点：I：求二元函数在某点的极限 1、利用函数在一点连续的定义和极限的四则运算法