8、一维开集闭集完备集的构造.pdfVIP

实变函数论 实变函数论 第8讲 第二章 第二章 §4 一维开集、闭集、完备集的构造 §4 一维开集、闭集、完备集的构造 §4 一维开集、闭集、完备集的构造 1、一维开集的构造 定理1 直线上的任一非空开集都可唯一地表示成 有限个或可数个互不相交的开区间的并。 ( ) ( )( ) ( ) ( 【注1】对于有界开集来说，这些开区间的端点都不属于这个开集 2、一维空间闭集的构造 定理3 直线上闭集要么是全直线，要么是从直线 上去掉至多可数个互不相交的开区间的并后余 下的集。 【注2 】去掉的这些开区间称为闭集的邻接区间或余区间 【注3 】对于有界闭集来说，邻接区间的端点在这个闭集中 【问题1】闭集的两个相邻的邻接区间的公共端点属于谁？是闭集的什么点？ 【问题2 】没有孤立点的闭集是什么集？ 3、一维空间完备集的构造 定理4 直线上完备集要么是全直线，要么是从直线 上去掉至多可数个互不相交的且无公共端点的开 区间的并后余下的集。 【注4 】由完备集的构造可知，Cantor三分集是闭集、完备集 【注5 】n维空间非空开集总可以表示成可数个互不相交半开半闭 区间之并 （表示不唯一） 课堂练习 1、判断、选择 （8 ）链接1.doc 2、证明：开区间(a,b)为开集 证明： 1 任取 ∈ 令δ =− − ( , ), min{ , }, x a b x a x b 2 则 δ ⊂ 则为 的内点由的任意性知 为开集 N(x, ) (a,b), x (a,b) , x , (a,b) 3、证明：用十进制小数表示[0,1]中的数时，其用 不着数字7的一切数成一完备集