一类二阶常微分方程的利普希茨控制问题研究.pdfVIP

2011年7月 西安石油大学学报 (自然科学版) Ju1．20l1 第26卷第4期 JournalofXianShiyouUniversity(NaturalScienceEdition) Vo1．26No．4 文章编号：1673-064X(2011)04-0098-05 一 类二阶常微分方程的利普希茨控制问题研究 黄小玉 (广西机电职业技术学院公共教学部，广西 南宁530007) 摘要：研究了一类由二阶常微分方程所支配的具有状态约束的控制问题．通过状态方程的外部函数 来实现系统的控制．在适当的假设条件下，证明了状态方程解的存在惟一性，并证明了当控制函数 在利普希茨连续函数类中时，最优控制的存在性．在光滑最优控制情形下，导出了一个最优化必要 条件． 关键词：最优控制；常微分方程；最优化必要条件 中图分类号：0175 文献标识码 ：A 最优控制理论是现代控制理论的重要组成部分，是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的 一 门学科．最优控制成为科学技术人员在设计控制系统时所追求的目标，而科学技术和工程中大量的问题都 表达为常微分方程的形式，特别是描述系统的动态演变时．本文主要研究如下一类由二阶常微分方程所支配 的具有状态约束的利普希茨控制问题： 设受控系统的状态方程为 y()+，(，Y)+ (，，())=0， ∈(0，1)，y(O)=0，)，(1)=0， (1) 其中 ，y)连续可微并且满足 ，0)=0，V ∈(O，1)； I ，Y。)一 ，Y2)I≤klY1一Y2I，V)，l，Y2∈[一口，a]． 由于在实际控制问题中，大多数控制量受客观条件的约束，只能在一定范围内取值，我们要求状态满足 约束条件 ly()1≤a，V ∈[0，1]． (2) 另外，选取如下容许控制集 ∑ ={∈c([一8，口])：Itr(y)l≤b，V，，∈[一。，0]， Io-(y1)一o-(y)J≤lJYl一 J，V，，1，Y2∈[一at0]}． (3) 这是因为，通常情况下，控制函数还应该满足一定的连续性条件．其中a，b，Z，k∈R，满足0b≤a,0Z1， 0k1．Banach空间c([0，13)和c([一口，口])的范数定义分别为II．Ilc([。。])=supco．】·1．}和I1．1Ic([】)= sup[。]I·1． 对给定的函数h∈c([0，1])，欲寻找or∈∑ ，其对应的状态使得性能指标泛函 1 ， J(y)= 【()，(戈)一 ())dx 达到最小值．记此最优控制问题为P． 收稿 日期：2010—12—10 作者简介：黄小玉(1980-)，女，讲师，硕士，主要从事常微分方程研究．E．mail：nnxiaoyu@163．corn 黄小玉：一类二阶常微分方程的利普希茨控制问题研究 一 I一 对于此类控制问题 ，目前的研究还不多．1996年，V．Barbu，K．Kunisch…和W．Ring 对偏微分方程中的 类似问题做了一些研究工作．最近，M．Goebel利用格林函数对状态方程比较简单的情形Y x)+cr(y(x))= O进行了研究，随后M．Akkouchi，A．Bounabat和M．Goebel3L推广到状态方程较为一般的情形 (p()y())+ q(x)y(x)+ (())=0进行研究，并取得了好的结果．本文的目的是考虑状态方程为 ”()+ ，Y)+ (y())=0的情形． 1状态方程的解和最优控制的存在性 令 G=(，)表示边值问题 Y”()=0， ∈(0，1)，y(O)=0，Y(1)=0 惟一确定的格林函数[3]，求得 C(x，)=一 ，当0≤ ≤ ≤1和C(x，)=一 ． 函数G连续并在 [0，1]X[0，1]上对称，有如下估计成立 O≤