基本知识、基本思想、基本方法.doc

高 中 数 学 基本知识·基本思想·基本方法 一、集合与简易逻辑 1.必须弄清集合的元素是什么，是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3.一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，陈述句、反诘问句都是命题，而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题； 4.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与其否命题是等价命题 ，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假； 5.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法； 6.（1）含n个元素的集合的子集个数为2n,真子集（非空子集）个数为2n－1； （2） （3） 二、函数: 研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。 1.复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法：若已知f(x)的定义域为［a，b］,其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域（即 f(x)的定义域）； （2）复合函数的单调性由“同增异减”判定； 2.函数的奇偶性 （1）若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)=; （2）定义域含零的奇函数必过原点（可用于求参数）； （3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或（f(x)≠0）; (4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性； （5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性； 3.函数图像（或方程曲线的对称性） (1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上； （2）证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2上，反之亦然； （3）曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=－x+a)的对称曲线C2的方程为f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0); （4）曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2a－x,2b－y)=0; （5）若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a－x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称； （6）函数y=f(x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线x=对称； 4.函数的周期性 (1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x－a) 或f(x－2a )=f(x) (a0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数； （2）若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数； （3）若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数； （4）若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数； （5）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数； （6）y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为2的周期函数； 5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域)； 6.a≥f(x) a≥［f(x)］max,; a≤f(x) a≤［f(x)］min; 7.（1） (a0,a≠1,b0,n∈R+); (2) l og a N=( a0,a≠1,b0,b≠1); (3) l og a b的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a log a N= N ( a0,a≠1,N0 ); 8.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。 9.判断对应是否为映射时，抓住两点：（1）A中元素必须都有象且唯一；（2）B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象； 10.对于反函数，应掌握以下一些结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数；（2）奇函数的反函数也是奇函数；（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;（4）周期函数不存在反函数；（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；(5) y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f-1(x)]=x(x∈B),f-1[f(x)]=x(x∈A