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第七章 非线性 这一章讨论 ABAQUS 中的非线性结构分析。线性分析与非线性分析的区别概 述如下： 线性分析 到目前为止所讨论的分析实例均为线性情形，也就是施加的载荷和系统响应 间存在线性关系。例如：如果一线性弹簧在 10N 的载荷下伸长 1ｍ，那么施加20N 的载荷就会伸长２ｍ。这意味着在线性分析中，结构的柔度阵只需计算一次（将 刚度阵集成并求逆即可得到）。其它载荷情形下，结构的线性响应可通过将新的载 荷向量与刚度阵的逆相乘得到。此外，结构对不同载荷情形的响应，可以用常数 来进行比例变换或相互叠加的方式，来得到结构对一种完全新的载荷的响应，这 要求那种新载荷是先前各载荷的线性组合。载荷的叠加原则假定所有的载荷的边 界条件相同。 ABAQUS 在线性动力学模拟中使用了载荷的叠加原理，这将在第九章进行讨 论。 非线性分析 结构的非线性问题指结构的刚度随其变形而改变的分析问题。实际上所有的 物理结构均为非线性的，而线性分析只是一种方便的近似，这对设计来说通常是 足够精确的。显然，线性分析对包括加工过程的许多结构模拟来说是不够的，象 锻造或冲压、压溃分析、及橡胶部件、轮胎和发动机垫圈分析等问题。一个简单 的例子就是具有非线性刚度响应的弹簧（见图7-1）。 图 7-1 线性和非线性弹簧特性 由于刚度依赖于位移，所以不能再用初始柔度乘以所施加的载荷的方法来计 算任意载荷时弹簧的位移了。在非线性分析中结构的刚度阵在分析过程中必须进 行许多次的生成、求逆，这使得非线性分析求解比线性分析昂贵得多。 由于非线性系统的响应不是所施加载荷的线性函数，因此不可能通过叠加来 获得不同载荷的解。每种载荷都必须作为独立的分析进行定义及求解。 7 － 1 7.1 非线性的来源 在结构力学模拟中有三种非线性的来源： ·材料非线性 ·边界非线性 ·几何非线性 7.1.1 材料非线性 这种非线性也许是人们最熟悉的，并将在第八章中进行更深入的讨论。大多 数金属在小应变时都具有良好的线性应力/应变关系，但在应变较大时材料会发生 屈服，此时材料的响应变成了非线性和不可逆的（见图7-2）。 图 7-2 弹－塑性材料轴向拉伸应力－应变曲线 橡胶可以近似认为具有非线性的、可逆的（弹性）响应的材料（见图7-3）。 材料的非线性也可能与应变以外的其它因素有关。应变率相关材料的材料参数 和材料失效都是材料非线性的表现形式。材料性质也可以是温度和其它预先设定 的场变量的函数。 图 7-3 橡胶类材料应力－应变曲线 7.1.2 边界非线性 若边界条件随分析过程发生变化，就会产生边界非线性问题。考虑图 7-4 所示 7 －2 的悬臂梁，它随施加的载荷发生挠曲，直至碰到障碍。 图 7-4 将碰到障碍物的悬臂梁 梁端部的竖向挠度与载荷在它接触到障碍以前是线性关系。在端部碰到障碍 时梁端部的边界条件发生突然的变化，阻止竖向挠度继续增大，因此梁的响应将 不再是线性的。边界非线性是极度不连续的，在模拟分析中发生接触时，结构的 响应特性会在瞬时发生很大的变化。 另一个边界非线性的例子是将板材材料冲压入模具的过程。在与模具接触前， 板材在压力下的伸展变形是相对容易产生的，在与模具接触后，由于边界条件的 改变，必须增加压才能使板材继续成型。 边界条件非线性将在第十一章进行讨论。 7.1.3 几何非线性 第三种非线性的来源是与分析过程中模型的几何改变相联系的