Brouwer定理与均衡价格.pdfVIP

维普资讯 2001年 12月 应用数学与计算数学学报 第 1j卷 第 2期 Dec 2001 COMM ．ON APPL MATH AND COM PUT Vc)l15 No．2 Brouwer定理与均衡价格 孙 乐平 上海师范大学数理信息学院，上海， 200234) 摘 要：本文详细论述了在一般均衡体系中均衡价格存在性定理 与Brouwer 不动点定理是等价的 即，均 衡价格 f( ) 0 就是 Brouwer定理 中的不动点 ，(童)二奎 并给出证明 这一等价性为计算均衡价格提供 坚 实的理论依据，从而肯定 了利用 Brouwer定理寻找不动 的方法计算均衡价格的计 算方法是 呵靠的， 因此具有特别重要的实用意义． 关键 词：均衡 价格 BI。u℃r不动点定理 ；wa1las定律； n维 闭包腔{ 单纯 形 ． 1．引 言 经济均衡 问题是研 究市场供应与消费者需求的问题 ，因而主要涉及价 格．价格 由几个部分组成 ：生产成本 ，流通费用，税金和利润等 另外， 价格还受到供求关 系等市场竞争机制 的影响．因此 ，可 以从各个不 同的角 度探索经济均衡规律 给定一组商品的价格 ，顾客便面临一个最优化问题 ：怎样充分利用手头 的资金换取商 品以满足或实现他们 的最大利益 ．同样对生产厂家或厂商而 言，就足希望 以最少的投入和费用获得最大的利益．当然，获得利益的途径 不止 一条 ．但通过市场的 自然调节 ，消费者和厂商的不断协调，各种商品的 价格在不断的上 浮动 ．然而不管 怎么浮动 ，价格总是稳定在某个点的附 近 ，或某个区域之 内．这个 固定点或固定区域就是市场经济 的核心 均衡 价格 】．均衡价格使供应和需求相等，从 而保证整个市场 的平衡与稳定， 是顾客和厂商共 同受益 的最优价格 ． 在市场经济体系中均衡价格是必然存在 的 】 笔者 曾经探讨 了经济平衡 的几种数学模型 [，并介绍了均衡价格 的存 在性 可以用拓扑理论 中的Brouwer不动点定理证 明的理论 ．事实上，数学理 本文 1977年 l0月29日收到 维普资讯 应用数学与计算数学学报 15卷 论上的 Brouwer不动点定理 。【与经济理论上的均衡价格存在定理 [112]是等 价 的．既然是等价 的，任何一个行之有效的均衡价格数值计算方法 同时也 是数学上寻找不动点的一种算法 _6】l 本文将描述和介绍这一等价性证 明． 2．均衡价格存在定理 n个商人交换n+1种商品，商品空间是 n+l维欧 氏空间的非负卦限R ． 交易前商人 i对 n+1种商品的持有量分别为 6，i．… ．u ．则其初始持有 向量 是 (u6．ui，一， )．给定一个非零的非负价格 向量 = (7C0 一， )．其 中商品j的价格为丌120，J=0．1．… 、J2．．则商人 的财富按 b ·= ∑rcjwj 计算．商人 i的需求 向量为 ()一 (b()．。i()… ．，。 ())．其 中他对商品 J 的需求量为 z()，j=0，1，… ．rn．以上对于单个消费个体的描述，详见 7【l_ 一 个均衡模型 【一般要涉及许多消费者：个人，团体 ，对外贸易还要考 虑 国家 ．他们的原始资产为 ，需求 z与当前价格 有关，或者说 是 的函数 ()．这里分别用符号 u，z和 表示原始资