电磁场理论课件-3.3 直角坐标中的分离变量法.pdfVIP

3.3 直角坐标中的分离变量法 分离变量法是把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘 积的方法。 1)要求给定边界与一个适当坐标系的坐标面相合； 2)要求在坐标系中，待求偏微分方程的解可表示为三个函数的乘 积，且其中的每个函数仅是一个坐标的函数。 3)在直角、柱、球等坐标系中都可以应用分离变量法。 理论基础：唯一性定理 分离变量法的主要步骤 – 根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出 该坐标系下拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件。 – 经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出 常微分方程的通解，其中含有待定常数。 – 利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得 满足边界条件的特解。 19:38:10 1 3.3 直角坐标中的分离变量法 2 在直角坐标系中方程 u 0可写为 2 2 2  u  u  u  0 x2 y 2 分离变量法的前提即假设待求 函数有分离变量形式的解 u(x, y) X (x)Y ( y) 2 2 d X (x) d Y ( y) Y( y) 2  X ( x) 2 0 dx dy 上式两端同除以X (x )Y (y ) 2 2 1 d X (x ) 1 d Y (y )  0 X (x ) dx 2 Y (y ) dy 2 只与x有关 该式成立的条件 只与y有关 2 2 1 d X (x ) 1 d Y (y ) 2 19:39:11  k 2 X (x ) dx 2 Y (y ) dy 2 3.3 直角坐标中的分离变量法 2 2 1 d X (x ) 1 d Y (y ) 2  k X (x ) dx 2 Y (y ) dy 2 分离常数 d 2 X (x) 2  2 k X (x) 0  dx   2