概率论与数理统计（盛骤 第二版）第2章随机变量及其分3-4节.pptVIP

* * 二、选择题 1. 设离散随机变量X的概率分布为 则c的值为（ ）. 2. 设在[a, b]上, 随机变量X的概率密度为f(x)=sinx, 而在[a, b]外，f(x)=0, 则区间[a,b]等于：( ). * * (2) 根据连续随机变量X的概率密度的2个性质, 分析 (1)根据离散随机变量X的概率分布性质 选C. 由非负性在[a,b]上f(x)=sinx≥0, 可排除C，D. 由规范性 可排除B， 故选A * * 三、计算题 求待定系数的值并求分布函数及相关概率值. 典型题Ⅰ 已知含有待定系数的概率密度函数， 1.设随机变量X的概率密度为 (1) 求常数A；(2) 求X的分布函数；(3) 求P(X1) * * 故A=20. 解: (1)由概率密度的性质得 * * (2)当x0时， 当0≤x1时， 当x≥1时, 所以X的分布函数为 * * 典型题Ⅱ 已知含有待定系数的分布函数，确定 2.设连续随机变量X的分布函数为 系数，并求概率密度函数. 解：(1) 由分布函数的性质知 即 求:(1) A, B的值; (2) P(-1≤ X≤1); (3) X概率密度f (x). * * 即 所以 X的分布函数为 (3) X的概率密度为 * * 典型题Ⅲ 离散型随机变量和连续型随机变量 综合运用问题 3. 某种型号的电灯泡使用时间(单位：小时)为 一随机变量X，其概率密度为 求3个这种型号的灯泡使用了1000小时后至少有 2个仍可继续使用的概率. * * 解：每个灯泡的使用寿命超过1000小时的概率为 设Y表示3个灯泡中使用寿命超过1000小时的个数, 则 Y~B(3, 0.82). 故所求概率为 * 离散型分布函数-对概率函数的累加；连续型分布函数-对概率函数的积分。 * * 二项分布和泊松分布的关系： 回顾： 随机变量、离散随机变量及其分布律、离散分布 分布函数：F(x)=P(X≤x) 引例：一射击运动员进行射击，设靶是中心在原点，半径为r的圆盘。又设射击不会脱靶。以X记弹着点到靶心的距离，X的取值充满一个区间（非离散变量）。 图1 图2 图3 在曲线C之下，ox轴上方的面积等于1，在[a,b]上的面积是X落在[a,b]的概率。 先取1cm作为度量距离的单位，X取整数值，将X离散化，从而得到X的分布律，作出对应的概率直方图如图1所。 接着取0.5cm作为度量距离的单位，又得到其概率直方图如图2.这样继续缩小度量距离的单位，作出一系列的概率直方图，这些直方图的顶部的台阶型曲线趋于一条光滑曲线C：y=f(x),如图3。 * * 第三节 连续型随机变量及其概率密度 定义.若X是随机变量，如果存在定义在整个实数轴上的非负可积函数f(x),满足条件 函数f (x)称为X概率密度函数 一、连续随机变量和概率密度 则称X为连续随机变量; (probability density function), 简称概率密度. * * 密度函数在区间上的积分= 随机变量在区间上取值的概率 * * 1.连续随机变量X, 20 概率密度f(x)的性质 10 2. 若X是连续随机变量， 则对任意x1, x2(x1x2)有 注: 假若一个函数满足上述两条性质，它一定是某一个随机变量的概率密度函数，反之也是成立的。 * * 求： 解: (1) 由 得 例1. 设连续随机变量X的概率密度： * * 1 求: (1)系数A ; 解: (1)由 有 (2) 随机变量X的概率分布的中值x*, 即x*满足 x f (x) o A 例2. 设连续随机变量X的概率密度为 * * 解:(2)因为 且 有 即 1 求(2) 中值x*： x f (x) o 例2. 设连续随机变量X的概率密度为 * * 二、连续型随机变量的分布函数 设连续X的概率密度f (x)，则其分布函数为 且在f (x)的连续点x处， 积分关系 导数关系 * * 分布函数F (x)的性质 (1) F(x)是非减函数, 即若x1 x2, 则 (3) F (x)是右连续函数, 即任意实数x 事件“X≤x”当x→-∞时趋于不可能事件; 事件“X≤x”当x→+∞时趋于必然事件. 连续随机变量X的分布函数F (x)在(-∞,+∞) 连续 * * 例4. 设某种电器系统的电压X（以伏计）是一随机变量，它的概率密度为 求：X的分布函数，P(X3), P(-2X5), P(X1) 解： * * 练习.设随机变量X的概率密度为 求随机变量X的分布函数. 解： 当-∞x 0时, 当0≤x 2时, 当2≤x +∞时, * * 设连续随机变量X