概率论与数理统计（盛骤 第二版）第3章随机变量的数字特征5节.pptVIP

* * 马尔可夫（Markov）不等式  设X是只取非负值的随机变量，且具有数学期望E(X),则对于任意正数ε，有 第五节 切比雪夫不等式与大数定律 证： 仅就连续随机变量的情形来证明.设X的密度函数为f (x), * * 对于任意的正数ε, 设X的数学期望 E(X) 与方差D(X) 存在, (切比雪夫不等式): 有 证： 则由马尔可夫不等式得 * * 注: (1)它给出了在X的分布未知的情况下，估计 的方法； (2)说明了方差D(X)的确刻画了X对E(X)偏离程度, 由 可知: D(X)越小 (即X偏离E(X)程度越小), 越大， (表明X取值越集中在E(X)的附近)； (3) 它是大数定律的理论基础. 另一形式： * * 例10. 已知正常男性成人每毫升血液中白细胞数平均7300, 标准差700, 利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞数 在5200~9400之间的概率. 解： 设X表示每毫升血液中白细胞数，依题意得 * * 样本平均数稳定性定理(弱大数定理1) 定理 设X1，X2，…，Xn，…相互独立且服从 同一分布，并具有数学期望 及方差 ， .作前n个变量的算术平均 则对于任意正数 ，恒有 * * 根据切比雪夫不等式得 证： 弱大数定理1使我们关于算术平均值的法则有了理论上的依据。如我们要测量某段距离，在相同条件下重复进行n次，得n个测量值 ，它们可以看成是n个相互独立的随机变量,具有相同的分布、相同的数学期望μ和方差 ，由弱大数定理1知，只要n充分大，则以接近于1的概率保证 这便是在n较大情况下反映出的客观规律,故称为“大数”定律。 比弱大数定理1条件更宽的一个大数定律是辛钦Khintchine）大数定律,它不需要推论1条件中“方差 存在”的限制，而在其它条件不变的情况下，仍有上式的结论。 * * 2.伯努利大数定理（频率的稳定性） 定理 设 是n次独立重复试验中事件A发生的次数， p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数 ,恒有 证明： 又EXk = p, DXk =p（1-p） 设Xk为第k次试验中事件A出现的次数k=1,2,…,n， 则这些变量相互独立，且服从相同分布：“0-1”分布 i=1,2,…，n 由切比雪夫不等式得 * * 1. 理解方差的定义： 2. 熟悉方差的性质: 内容小结 * * (5) 若E(X) 与 D(X) 存在， 对于任意的正数 (4) 对于任意实数C∈R，有 E ( X-C )2≥D( X ) 当且仅当C = E(X)时, E ( X-C )2取得最小值D(X). 有 * * 3.熟悉一些常见分布的方差 ① 若X～B(n, p), D(X) = npq; ② 若 ③ 若X～U(a, b), ④ 若 * * 4. 方差的计算方法 ① 利用方差的定义: ② 利用方差的简化公式： ③ 利用方差的性质； ④ 利用常见分布的方差. * * 备用题 1. 判断正误： (1) 任何随机变量X都能其计算期望和方差. ( ) (2)期望反映的是随机变量取值的集中位置， 方差反映的是随机变量取值的分散程度。( ) (3) 随机变量X的方差越小，X取值越集中， 方差越大，X取值越分散。( ) 答案: (1) X; (2) √; (3) √. * * 2.选择题 A. 4, 0.6 ； B. 6, 0.4； C. 8, 0.3； D. 24, 0.1 A. -1； B. 2； C. 1； D. 3 * * (4) * * 分析 (1) 由 X~B(n, p)得： 解方程组得 n=6, p=0.4, 故选B. * * 故选 C. * * （3） 故选 C. * * (4)由题（3）知： 且 根据切比雪夫不等式，应选D * * 3.假设有十只同种电器元件,其中只有两只废品, 装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是废品, 则扔掉重新任取一只; 如仍然是废品, 则扔掉再取 一只. 试求在取到正品之前, 已取出的废品只数的 解： 设X表示在取到正品前已取出的废品数, 则 X的概率分布为 方差（续）. X 0 1 2 P 0.8 8/45 1/45 * * E(X)