概率论与数理统计（盛骤 第二版）第4章中心极限定理.pptVIP

* * 一、正态分布的定义 二、正态分布的数字特征 三、正态分布性质 四、中心极限定理 第四章 正态分 布——中心极限定理 基本内容： * * 正态分布是最重要的概率分布(原因)： (1) 很多随机现象可用正态分布描述或近似描述, 例如测量误差、学生成绩，人的身高、体重等 大量随机现象可以用正态分布描述. (2)一般地,大量独立随机变量的和近似地服从 正态分布.(中心极限定理) (3)某些常用分布(如卡方分布,t分布,F分布等) 是由正态分布推导得到的. 问题：在n次独立重复试验（即n重伯努利试验)中，p为一次试验中事件A发生的概率，记?n 为n次试验中事件A发生的次数， * * 则?n ~B(n, p) 试验次数n较大时，计算相当困难，有没有近似计算的方法？ 回顾泊松定理： 当n充分大, p很小 (p0.1), 即 λ=np比较适中时， 看上去简单一点，但仍然是一串很长和式，有没有近似计算的方法？ 分别取n=6,20,50,100, p=0.3 的二项分布图 * * 当n越来越大时，二项分布的概率值渐进为正态曲线，标准化以后即为标准正态分布曲线。 即棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 * * 定理.[棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理] 若随机变量 ?n 服从参数为n, p的二项分布，则 则对于任何实数x，有 定理表明，当n充分大时，二项分布的随机变量?n 的标准化变量近似服从标准正态分布，即 而 ?n近似服从N (np, np(1-p)). * * 例7.某种难度很大的心脏手术成功率为0.9，对100名患者进行这种手术，以X记手术成功的人数.(1)求P(84≤X ≤95);(2)求P(X≥90). 解: (1)由题意知X~B(100,9), E (X)=n p=100×0.9=90， D (X)=n p(1-p)=100×0.9×0.1=9， * * 设?n~B(n,p), ?n表示n次试验中事件A出现的次数， ?n可以分解为一系列随机变量之和 其中Xi为第i次试验中事件A出现的次数，即 根据棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，当n充分大时， 独立同分布于B(1,p)的随机变量X1，X2，…，Xn，其和 X1+X2+…+Xn近似服从正态分布。 启示： X1，X2，…，Xn只是独立同分布的随机变量，是否有类似结论？ * * 独立同分布的中心极限定理 设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立, 服从同一分 布，且有的数学期望 和方差 ，则随机变量 的分布函数 满足如下极限式 * * 定理的应用：对于独立的随机变量序列 ，不管 服从什么分布，只要它们是同分布， 且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这 些随机变量之和 近似地服从正态分布 另一种形式： * * 客观背景：客观实际中，许多随机变量是由大量 相互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小 因素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来， 却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从 正态分布。 概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布 是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。 由正态分布的线性组合性质知，相互独立的随机变量的和仍服从正态分布。在某些相当一般的条件下，很多个相互独立的非正态的随机变量（不管它们的分布如何）的和近似服从正态分布。 由题意 相互独立且服从同一分布，且 * * 例6.在一零售商店中，其结账柜台替各顾客服务的时间(以分计)是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1.(1) 求对100位顾客的总服务时间不多于2小时的概率；(2) 要求总的服务时间不超过1小时的概率大于0.95,问至多能对几位顾客服务。 解： (1)Xi表示第i位顾客的服务时间,i=1,2,…,100 * * 例6.在一零售商店中，其结账柜台替各顾客服务的时间(以分计)是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1. (2) 要求总的服务时间不超过1小时的概率大于0.95,问至多能对几位顾客服务。 解： (2)设能对N位顾客服务，按题意需要确定最大的N，使 * * 二、掌握非标准正态分布向标准正态分布的转化， 内容小结 一、掌握正态分布的密度函数和分布函数及其图像及性质； 三、掌握正态分布的数字特征； 会利用标准正态分布表，求正态分布的概率； * * 3(线性组合性).设 且X、Y相互独立, 则 四、熟悉正态分布的性质 则 1 (线