第2章 线性方程组的数值解法精要.doc

第2章 线性方程组的法 2.1 引言 在自然科学研究和工程技术的应用中，许多问题的解决，诸如非线性问题线性化、微分方程最终都归结为线性方程组的求解问题. 我们在后面章节中的样条插值、曲线拟合等，也需求解线性方程组一般地，设阶线性方程组(linear system of equations of order ) (2.1.1) 表示矩阵形式, (2.1.2) 其中 ，, (2.1.3) 为系数矩阵(coefficient matrix). 目前在计算机上经常使用的、简单有效的线性方程组的数值解法大致分为两类：(direct method)和(iterative method). 其中直接法适用于以稠密矩阵为系数矩阵的中低阶线性方程组为系数矩阵的线性方程组本章介绍解线性方程组的种常用的直接法：Gauss消去法与矩阵三角分解法介绍解线性方程组的种常用的Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、松弛法(SOR法)讨论方程组的性态2.2 Gauss消去法 Gauss消去法Gaussian elimination method）的基本思想是使用初等行变换将方程组转化为一个同解的上三角形方程组，再通过回代，求出该三角形方程组的解. 2.2.1 Gauss消去法 Gauss消去法包括消元和回代两个过程. 下面先举例说明Gauss消去法求解线性方程组的要过程. 2.2.1 求解线性方程组 将该线性方程组写成增广矩阵(augmented matrix)的形式 用Gauss消去法求解过程如下： 1．消元过程 , 从而原方程组等价地变为上三角形方程组 2．回代过程 从第3 个方程解出，将其代入第2 个方程得，再将及回代到第1个方程，解出. 从而得到原方程组的解 对于一般线性方程组(2.1.1)，使用Gauss消去法求解分为以下两步： 1． 为方便起见，记 方程组(2.1.1) (2.2.1) 第1次消元：若，方程组(2.2.1) 执行初等行变换, ,第个导出方程组 (Carl Friedrich Gauss 1777年4月30 日 – 1855年2月23 ) 是德国数学家、天文学家，在许多科学领域都做出了杰出的贡献，他为现代数论、微分几何(曲面论)、误差理论等许多数学分支奠定了基础. 他的数学研究以简明、严谨、完美而著称于世. 与阿基米德、牛顿齐名被称为“数学王子”，有史以来最伟大的学家之一. (2.2.2) 其中， 第2次消元：若，方程组(2.2.2)执行初等行变换 ,得第2个导出方程组 (2.2.3) 其中， 第次消元：若，个导出方程组执行初等行变换，, 得第个导出方程组 (2.2.4) 其中， 重复上述过程次，得到第个导出方程组 (2.2.) 其中 (2.2.6) 这样，通过消元过程就将方程组(2.1.1)化成了等价的上三角形方程组(2.2.). 2．回代过程 回代过程就是求上三角形方程组(2.2.)的解. 若，则从最后一个方程开始，先求出，再由第个方程解出，依此类推可解出. 一般地，其求解过程的计算公式为 (2.2.7) 定义2.2.1 由(2.2.2)-(2.2.7)确定求解线性方程组的算法称为Gauss消去法(Gaussian elimination method)，包括消元(elimination)和回代(backward substitution)两个过程。 注 从上述消元过程可以看出，元素起着特殊的作用，若，则消元过程将无法进行下去，因此，我们称元素为主元素(pivot element)，简称主元. 称式(2.2.)中的数为消元过程的乘数(multiplier). 下面考察Gauss消去法的计算量消元过程：，第步消元有 次乘除法因此，整个消元过程共有 次乘除法回代过程：由式(2.2.)计算时，有次乘除法，因此，整个回代过程共有 次乘除法. 消元和回代过程共有 次乘除法，即Gauss消去法的计算量为，且主要计算量在消元过程. 注 Gauss消去法在消元过程中，要求元素，当此条件不满足时消元就不能继续另外，即使，但很小，舍入误差的影响不能保证计算过程是数值稳定的2.2.2 用Gauss消去法求解线性方程组 位. 解 方程组的精确解为.记主元，可得乘数，做行变换，得等价方程组 若取，则得相应的等价方程组为 由此，得解，取得 . 可以看出，，但误差很大。出现这种情况的主要原因是消元中选取了小主元，造