浙教版八年级下专题八菱形的判定技巧.doc

专题八菱形的判定技巧_ (教材作业题第4题) 已知：如图7－1是矩形ABCD的对角线的交点．作DE∥AC相交于点E. 求证：四边形OCED是菱形． 图7－1 证明：∵DE∥AC四边形OCED是平行四边形．在矩形ABCD中AC＝BD＝OA＝OD＝OC四边形OCED是菱形． 【思想方法】 菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分． 　如图7－2平分∠BAD且交BF于点C平分∠ABC且交AE于点D连结CD求证：四边形ABCD是菱形． 图7－2 【解析】 本题主要考查菱形的判定以及综合利用了角平分线的定义和平行线的性质利用已知得出AB＝BC是解题关键． 证明：∵AC平分∠BAD＝∠CAD.又∵AE∥BF＝∠CAD＝∠BCA.∴AB＝BC同理可证AB＝AD.∴AD＝BC又AD∥BC四边形ABCD是平行四边形又AB＝BC平行四边形ABCD是菱形． 　[2013·雅安]如图7－3在ABCD 中点E、F分别在AB、CD上且AE ＝ CF. (1)求证： △ADE ≌ △CBF； (2)若 DF ＝ BF求证： 四边形DEBF为菱形． 图7－3 证明：(1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AD ＝ BC＝ ∠C又 ∵AE ＝ CF ∴△ADE ≌ △CBF. (2)∵四边形ABCD是平行四边形＝CD＝ CF＝DF ∴ 四边形DEBF是平行四边形．∵DF ＝ BF ∴四边形DEBF是菱形． 　[2013·盐城]如图7－4在平行四边形ABCD中为BC边上的一点连结AE、BD且AE＝AB. (1)求证：∠ABE＝∠EAD； (2)若∠AEB＝2∠ADB求证：四边形ABCD是菱形． 图7－4 证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形 ∴∠AEB＝∠EAD又∵AE＝AB＝∠AEB ∴∠ABE＝∠EAD. (2)∵AD∥BC＝∠DBC.又∵∠AEB＝2∠ADB＝∠ABE ∴∠ABE＝2∠DBC＝∠DBC.∴∠ABD＝∠ADBAB＝AD.又∵四边形ABCD为平行四边形四边形ABCD是菱形． 　[2013·遂宁]如图7－5已知四边形ABCD是平行四边形垂足分别是E并且DE＝DF. 求证：(1)△AED≌△CFD； (2)四边形ABCD是菱形． 图7－5 证(1)∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED＝∠CFD＝90四边形ABCD是平行四边形＝∠C在△AED和△CFD中 ∵ ∴△AED≌△CFD(AAS)． (2)∵△AED≌△CFD＝CD四边形ABCD是平行四边形四边形ABCD是菱形． 　[2013·临沂]如图7－6在△ABC中是BC边上的中线是AD的中点过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F连结CF. (1)求证：AF＝DC； (2)若AB⊥AC试判断四边形ADCF的形状并证明你的结论． 图7－6 证明：(1)∵E是AD的中点＝ED＝∠DBE＝∠BDEDBE，∴AF＝DB.∵AD是BC边上的中线＝DC＝DC. (2)四边形ADCF是菱形．理由：由(1)知＝DC.∵AF∥CD四边形ADCF是平行四边形．又是直角三角形是BC边上的中线＝BD＝DC.∴平行四边形ADCF是菱形． 　[2013·乌鲁木齐]如图7－7在△ABC中＝90于D平分∠BAC分别与BC交E，F，EH⊥AB于H连结FH.求证：四边形CFHE是菱形． 图7－7 证明：∵AE平分∠BAC＝∠HAE.于H＝∠ACB＝90又∵AE＝AE＝EH＝AH.又∵∠CAE＝∠HAE＝AF＝FH.CD⊥AB于D＋∠AFD＝∠CAE＋∠AEC＝90又∵∠DAF＝∠CAE＝∠CFE.∴∠CFE＝∠CEF.∴CF＝CE.＝＝HF＝FC.∴四边形CFHE是菱形． 　[2013·泰安]如图7－8在四边形ABCD中＝AD＝CD是CD上一点交AC于F连结DF. (1)证明：∠BAC＝∠DAC＝∠CFE； (2)若AB∥CD试证明四边形ABCD是菱形； 3)在(2)的条件下试确定E点的位置使∠EFD＝∠BCD并说明理由． 图7－8 解：(1)∵AB＝AD＝CD＝AC＝∠DAC＝AD＝∠DAF＝AF＝∠AFD又∵∠CFE ＝∠AFB＝∠CFEBAC＝∠DAC＝∠CFE. (2)∵AB∥CD＝∠ACD又∵∠BAC＝∠DAC＝∠ACD＝CD＝AD＝CD＝CB＝CD＝AD四边形ABCD是菱形． (3)当BE⊥CD时＝∠BCD理由：∵四边形ABCD为菱形＝CD＝∠DCF又∵CF为公共边＝∠CDF＝∠DEF＝90 ∴∠EFD ＝∠BCD. 　[2013·娄底]某校九年级学习小组在探究学习过程中用两块完全相同的且含60角的直角三角板ABC与AFE按如图7－9(1)所示位置放置现将绕A点按逆时针方向旋转角α(0＜α＜90)，如图7－9(2)与BC交于