第七章 整数线性规划(ILP).ppt

* * 第7章 整数线性规划（ILP）在前面讨论的线性规划问题中，最优解可能是分数或小数，但对于某些具体问题常要求解答是整数。我们称这样的线性规划问题为整数线性规划问题（Integer Linear Programming 简记为ILP）,整数规划是近20年来发展起来的规划论的一个分支。 一、数线性规划问题的提出整数规划中如果所有的变量都限制为（非负）整数，就称为纯整数规划（Pure ILP）,如果仅一部分变量限制为整数，就称为混合整数规划（Mixed ILP）,整数规划的一个特例就是0—1规划，他的变量仅取0或1。 整数线性规划问题举例1、? 投资决策问题某部门在今后五年中可用于投资的资金总额为B万元，有n(n 2)个可以投资的项目，假定每个项目最多投资一次，第j个项目所需投资资金为 万元，获得的利润为 万元，问如何选择投资项目，才能使获得的总利润最大。 设获得的总利润为z，则上述问题的数学模型为： 解：设投资决策变量为 显然上述是一个决策变量只能取0或1的整数规划问题，这样的整数规划问题称为0——1规划。决策变量取0或1这个约束可以用一个非线性约束来代替： 2、? 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量、可获得的利润及托运所受的限制入下表： 问两种货物各托运多少箱， 可使得利润最大？ 解：设 分别为甲乙两种货物的托运箱数，设获得的总利润为z，则上述问题的数学模型为： 3、旅行售货员问题（货郎担问题） 第一组约束条件表示各个城市恰好进入一次，第二约束条件表示各个城市恰好离开一次，第三组约束条件用以防止出现对于一个互不连通的旅行路线圈。显然这是一个混合整数规划问题。 二、整数线性规划问题的求解 ——割平面法 （1）?????? 基本思想给出整数规划 可先求其对应的线性规划问题 ?（2）割平面法求解ILP问题的一般步骤 三、整数线性规划问题的求解 ——分枝定界法（Branch and Bound Method） 1）基本思想分枝定界法求解整数规划问题的基本思想是：通过分枝枚举来寻找最优解。实施的作法是：首先不考虑对变量的整数要求，求解相应的线性规划问题，如求得的最优解不符合整数要求，则把原问题分解为两部分，每一部分都增加新的约束条件以减小原线性规划问题的可行域。通过不断地分解，逐步逼近满足要求的最优解，直到求得最优解。在这个过程中包括了分枝和定 界两个关键步骤。 （2）分枝定界法求解ILP问题的一般步骤根据分枝定界法的基本思想，人们归纳总结出了分枝定界法求解整数规划问题的一般步骤，这里以求目标函数值最大化问题为例加以说明：?给出整数规划