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介绍Wallis公式及其应用要点
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Wallis公式及其应用
本文讲述Wallis公式，以及它的推导过程。然后讲述Wallis公式的两个重要应用，即推导
Stirling公式和求解Euler-Poisson积分。?
Contens
?
????1. 什么是Wallis公式
????2. Wallis公式的推导过程
??? 3. 利用Wallis公式推导Stirling公式
??? 4. 利用Wallis公式求解Euler-Poisson积分
?
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1. 什么是Wallis公式
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???Wallis公式是关于圆周率的无穷乘积的公式，公式内容如下
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???
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???其中，开方后还可以写成
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???
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?
2. Wallis公式的推导过程
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???Wallis公式的推导采用对在区间内的积分完成，令
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???
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?? 用部分积分法得到如下推导过程
??
???
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?? 进一步得到
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???
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???所以继续得到
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???
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?? 所以最终得到
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???由的单调性可知
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???
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?? 即得到
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???
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???由两边夹挤准则得到
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???
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?? 这样就推导出了Wallis公式。
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3. 利用Wallis公式推导Stirling公式
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?? 斯特林公式如下
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???
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???接下来利用Wallis公式来推导斯特林公式。
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?? 借助函数的图像面积，通常有三种求法，分别是积分法，内接梯形分割法，外切梯形分割法。实
?? 际上最准确的是第一种，后面两种都有一定误差。
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?? 对于积分法求面积有
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???
?
???对于内接梯形分割法有
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???
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?? 很容易知道，令，很容易证明为有界递增序列，则
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???
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?? 接下来令，则有极限，设
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???
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???则根据Wallis公式得到
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???
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???进一步化简得到
?
???
?
?? 所以最终得到
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???
?
?? 带入原式得到斯特林公式
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???
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4. 利用Wallis公式求解Euler-Poisson积分
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???在上面，我通过Wallis公式完美地推导了斯特林公式，接下来继续看Wallis公式的另一个应用，即求解
?? Euler-Poisson积分。
?
?? Euler-Poisson积分是无限区间上的非正常积分
?
???
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?? 它在概率论等数学分支以及其它自然科学中都有重要应用，由于它的被积函数的原函数不能用初等函数表示，
?? 因此不能用牛顿-莱布尼兹公式求它的值。现在我就用上面学到的Wallis公式来求解。
?
???借助函数在时取得最大值1，因此对于任何，都有，从
?? 而得到和，所以
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???
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???对任意自然数都有
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?? 由于
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???
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?? 那么，我们又知道
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???
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?? 即得到不等式为
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?? 同时取平方后得到
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???由Wallis公式可以推出，在的情况下，两边都是以为极限，由两边夹挤准则得到
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???
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